Grundlagen einer Isogonalzentrik. 
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2 AE 2 — a 2 b 2 — »/8 d 2 ; 2 Di: 2 = ß2 p _1 ^-2 ; also 
¿L 
a 2 &S I C 2 _ i/ 2 ^2 = 4 (e 2 + /* - 4 7 2 ) -f 3 ¿5/; 
3 2 
folglich 3 M^ 2 = a 2 + b 2 -f c 2 — 2 (,d 2 + e 2 + f 2 ); 
O 
und 1 .4S, 2 = P (« 2 + & 2 + c 2 ) - (<* 2 + e 2 + f 3 ); 
dies substituiert, giebt AS. SG =— j— (a 2 -f6 2 +c 2 ) -f- 
(cP + e 3 + f‘)\; 
schließlich /1 $. SG — — («' -f- & 2 -f- c 2 -{- -f- c 2 -{- f 3 )- 
1 0 
158. Wie leicht zu ersehen, gilt obiger Beweis auch, wenn 
die vier Punkte A,B,C,D auf einer Kreis 
peripherie in einer Ebene liegen. Sind 
F, F, 6r, H, 7, K die Mitten der Seiten des 
Kreisvierecks M,7?,C,7) und seiner Diago 
nalen, so ist S der gemeinschaftliche Mittel 
punkt der Parallelogramme FF67Z7, EIGK, 
FJHK, seine Potenz: 
p, = «* 2 + Ä 2 + c 3 + d 3 + e> + f 3 ). 
Da nach einem Satze von Euler *) 
AB 2 +BC 2 +Cl) 2 +DA 2 +AC*-\-l)B 2 =4'EG 2 -+-iHF 2 +4JK\ 
so ist auch P s = i (FF 2 FF 2 JfJ 2 ). 
Leicht sieht man am Rechteck (Quadrat), daß der Satz seine 
Geltung hat; für das gleichseitige Tetraeder erhält man: 
Yg. 6a 2 = r , oder g" a = r • 
159. Da der Satz gleicherweise für das Fünfeck etc. auf einer 
Kugel oder einem Kreise nur mit dem Koefficienten -^-...bewiesen 
1) Baltzer, Elemente der Mathematik II, § 14, 20.