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Le [19] , [19'], per la loro analogia con le [5] , [5'] ? ci permettono 
di estendere subito le considerazioni precedenti ai sistemi m-upli i 
cui elementi sono funzioni qualisivogliono del posto (cioè delle varia 
bili indipendenti x 1 , x 2 , ..., x n ). Diremo che un sistema w-uplo a 
elementi funzioni del posto costituisce un tensore covariante o con 
travariante o misto, rispetto ad una generica trasformazione [17], 
quando esso è tale (in ogni posto del campo che si considera) rispetto 
alla trasformazione lineare [19] , [19'] fra i differenziali delle antiche 
e delle nuove variabili. 
Per conseguenza i differenziali delle variabili indipendenti forni 
scono il tipo del sistema contravariante semplice. Vediamo invece qual’è 
il tipo del sistema covariante semplice. 
A § 3 vi siamo pervenuti introducendo, le variabili duali u t , defi 
nite formalmente come coefficienti d’una forma lineare nelle varia 
bili x. A queste vanno ora sostituiti i loro differenziali dx; sicché 
conviene partirsi da un generico pfafflano 
n 
U( dx, 
e considerarlo invariante di fronte e cambiamenti qualisivogliono 
delle variabili x. I coefficienti si riguardano quali funzioni del posto 
e quindi, inizialmente, delle x. Quando si eseguisce la trasformazione 
[17], la dipendenza dal posto va invece riferita alle nuove variabili x. 
Sostituendo in ^ ai dx, le loro espressioni [19], si constata in primo 
luogo — cosa evidente data la linearità — che si ha ancora un 
pfafflano nelle nuove variabili x. Più precisamente risulta 
n 
n 
n 
n 
n 
+ - 
Ui . 
dx k 
I coefficienti dei nuovi differenziali dx k , cioè gli elementi u k del 
sistema trasformato dei coefficienti, u, sono pertanto 
n 
(le = 1,2 
n