§ 13. — Leggi di trasformazione più complesse, e scopo del 
calcolo differenziale assoluto. — In un cambiamento generico 
di variabili nn sistema si trasforma, come abbiamo detto, in maniera 
dipendente dalla sua definizione: i casi esaminati finora sono i più 
semplici, ma possono presentarsene altri notevolmente più complessi 
dei quali vogliamo ora dare un esempio. 
Abbiamo visto che il sistema (semplice) delle derivate prime m 
di una funzione invariante u è covariante: passiamo ora ad esaminare 
il sistema (doppio) delle derivate prime — di un sistema covariante 
òXj 
semplice Ui ; come caso particolare, se le Ui sono le derivate Ò U di 
dXi 
il: una medesima funzione u, veniamo ad includere la trasformazione 
delle derivate seconde di una funzione invariante. 
Per trovare le formule di trasformazione di questo sistema, cioè 
le relazioni fra le ^ U - e le ÒUl , partiamo dalla formula di trasforma- 
òXj ÒXj 
zione delle w» : 
71 
1 
e deriviamola rispetto a x h pensando nel secondo membro le u,. come 
funzioni delle x per il tramite delle x. Avremo 
n n 
dUi dx k òx h du k , X ò x k 
— - = / —■ ~Z !" > — — U k ■ 
ÒXj Z /,/. bXi ÒXj Òx h / /. ÒXj ÒXj 
1 1 
[22] 
Se mancasse l’ultima sommatoria, la legge di trasformazione 
sarebbe la covarianza: invece la presenza delle derivate seconde delle 
x rispetto alle x mostra che il sistema che esaminiamo non è nè 
invariante, nè covariante, nè contravariante, nè misto, vale a dire non