CAPITOLO V. 
Introduzione geometrica 
alla teoria delle forme differenziali quadratiche. 
a) L’elemento lineare d’una superfìcie. 
§ i. — Equazioni parametriche di una superficie. — È noto 
dalla geometria analitica che cosa si intenda per equazioni parame 
triche d’una superfìcie: tuttavia vogliamo qui richiamare questa 
nozione, per presentare le formule in quell’aspetto che meglio con 
viene ai nostri scopi. 
Rappresentiamo (come faremo in tutto questo capitolo) con 
Vi, 2L > Vs l e coordinate cartesiane dei punti dello spazio, riferiti a tre 
assi ortogonali. Consideriamo poi una superfìcie, o, più generalmente, 
un pezzo di superfìcie a (al quale intenderemo limitate le considera 
zioni che seguono); e supponiamo che si sia stabilita, in modo qua 
lunque, una corrispondenza biunivoca fra i punti di a e le coppie di 
valori che si possono attribuire a due parametri x 1 , x 2 entro un certo 
campo G (di un piano rappresentativo degli argomenti x 1} x 2 ; cfr. le 
generalità del Cap. I). 
Ciò implica che i punti di c e con essi le loro coordinate carte 
siane y v siano funzioni ben determinate (e finite) di x x , x 2 (nel campo 
G). Scriveremo in conformità 
2/v = 2/v (®i i X 2Ì ( v = h 2 , 3) , [1] 
ammettendo ulteriormente che le tre funzioni y v siano, in C, dotate 
di derivate continue, fino all’ordine che ci avverrà di considerare. 
Ma questo comportamento delle funzioni non basta da solo ad 
assicurare che le [1] definiscono effettivamente una superficie, cioè 
che sussista la ammessa corrispondenza biunivoca fra Gei punti 
di una porzione di varietà a due dimensioni.