Full text: Lezioni di calcolo differenziale assoluto

e diciamo R 4- dR, il vettore equipollente spiccato da un punto vici 
nissimo di V n , P r Potremo pensare la V n (e quindi i vettori R, R + dR) 
immersa in uno spazio euclideo 8n (dove N è un intero sufficiente 
mente grande), e quindi caratterizzare i vettori /?,/<* + dR, oltre 
ché con le loro componenti (covarianti o contravariauti) rispetto a V n , 
anche con le loro componenti Y v , Y v -f dY v (v = 1, 2, ..N), rispetto a 
un sistema di coordinate cartesiane.y xì y 2 ,..y x , in 8n- Consideriamo 
poi un arbitrario spostamento infinitesimo 8P, contenuto in V n e spic 
cato da P: esso potrà caratterizzarsi sia intrinsecamente mediante i 
Bxì (i = 1, 2, ..n), sia, riferendosi alle coordinate cartesiane, mediante 
i Sy v (v = 1,2, ..., N): si noti però che, mentre i primi sono arbitrari, i 
secondi non lo sono, in base (§ 21) alle equazioni che definiscono le y in 
funzione delle x. Si può anche dire, con linguaggio geometrico, che lo 
spostamento deve soddisfare alla condizione di essere tangenziale, 
cioè di appartenere a V n . Ciò premesso, definiremo il vettore dR, e 
quindi il trasporto per parallelismo, mediante l’equazione simbolica [19] 
che si esplicita (§ 22) in forma analoga alla [19'], cioè 
[49] 
valida per tutti gli spostamenti che soddisfano la detta condizione. 
La formula [49] non differisce dalla [19'] che definisce il paral 
lelismo superficiale, se non per il fatto che l’indice v va da lai, 
anziché da 1 a 3. Tutti i calcoli successivi procedono automaticamente 
come al § 15. 
Si comincia col metteee in evidenza i 8x, ponendo 
dR x 8P = d Y v = Zk 8x k , 
)0] 
e, dopo analoghe trasformazioni, si trovano per le r k le espressioni 
n 
n 
ovvia generalizzazione delle [21"]. Manifestamente si tratta qui pure
	        
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