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Le [52] e [52'] sono, si può dire, identiche alle [23] e [27] valide 
per le Vi (differendone materialmente solo per il numero delle dimen- 
[ j J, ì ( ^ 1 ) 
sioni): va da sè che e ] \ designano i simboli di Christoffel di 
1 i \ ( j ) 
2 a specie formati col ds 2 di V n . 
Tutte le proprietà che abbiamo dedotto dalle equazioni del paral 
lelismo superficiale (in particolare: il trasporto lungo una curva 
finita qualunque è sempre possibile, e in modo unico; il trasporto 
conserva il prodotto scalare di due vettori, e quindi le lunghezze e 
gli angoli) si estendono senza difficoltà al parallelismo in V n . Mostre 
remo nel § seguente che si può anche estendere la proprietà di auto- 
parallelismo delle geodetiche, che nel caso delle superfìcie avevamo 
dimostrato per via geometrica. 
Qui vogliamo ancora segnalare la nozione dovuta al Bianchi ( ] ) 
di vettore associato, lungo una curva T, ad un generico vettore R, 
funzione dei punti di T. Se gli R{s) uscenti dai vari punti di T non 
sono paralleli fra loro, lungo T, il sistema contravariante sem 
plice t , definito dalle [51'], non è identicamente nudo. Perciò le 
n 
si possono riguardare come componenti contravarianti di un vettore 
V non .nullo, funzione esso pure dei punti di T. La direzione e la 
lunghezza di questo vettore sono chiamate dal Bianchi rispettiva 
mente direzione e curvatura associate, punto per punto, col vettore 
R(s). Se questo si riduce al versore tangenziale sulla stessa curva T, 
cioè in particolare se R l = —= ògì , siamo ricondotti al vettore p di 
ds 
curvatura geodetica, considerato nel prec. §. 
Si può dimostrare che in ogni caso V (ove non sia nullo) risulta 
perpendicolare ad R, e stabilire altre interessanti proprietà messe 
in luce dal Bianchi. ISToi dobbiamo limitarci a rimandare alla me 
moria citata, ovvero all’appendice al voi. II delle sue Lezioni di 
geometria differenziale (2 a ediz., Bologna: Zanichelli, 1923). 
( 1 ) Cfr. Sul 'parallelismo vincolato di Levi-Civita nella metrica degli spazi curvi, 
Rend. della R. Ago. di Napoli, voi. XXVIII, 1922, pp. 150-171.