— 167 
r ['(‘nuto conto di questo, si ha 
3F = A*!’ l [u h y*x,+ 
( l ) 
n 
+ A 1 - | hl \ % Uj . 
;hii J ' 
ì 
Possiamo mettere in evidenza, in ciascuna sommatoria, u h 
basta a tal uopo scambiare i con j nella seconda e h con j nell’ultima, 
e avremo, raccogliendo in un’unica somma, 
Ora, poiché il primo membro, per il suo significato, è invariante, 
mentre % , 8x„ u h sono sistemi arbitrari contravarianti o covarianti, 
i coefficienti di questa forma (cioè le espressioni entro [ ]) costituiscono 
per definizione un sistema covariante rispetto a i e l, contravariante 
rispetto a ìi: potremo porre perciò 
Questo sistema si dice derivato covariante del sistema a!' . Esso 
si indica talora con a''^ , o anche, quando non nasca equivoco, sem- 
u 
plicemente con A . 
È evidente che in coordinate cartesiane (le quali esistono quando 
si tratta di forme euclidee; cfr. § 21 del Gap. prec.) il sistema si riduce 
a quello delle derivate ordinarie. 
Il procedimento seguito si può ripetere in modo analogo per un 
sistema misto generico: si otterrà sempre per SE (come risulta 
immediatamente dal calcolo materiale) una forma plurilineare i cui 
coefficienti definiremo come elementi del sistema derivato cova 
riante: essi sono formati da un primo termine, che è la derivata ordi 
naria, cui seguono tante sommatorie col segno meno, quanti sono gli 
indici di covarianza del sistema dato e tante sommatorie col segno più,