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Questo notevole teorema, che le derivate covarianti delle a ik sono 
nulle, si può dimostrare direttamente, ricorrendo alla stessa defini 
zione di derivazione covariante. 
Dobbiamo infatti scegliere due vettori arbitrari £, t¡, e formare 
l’espressione 
F = Z ik a ik £' ; tq* ; 
i 
calcolare poi il 8F ^corrispondente a un trasporto per parallelismo 
dei vettori £, r¡, e otterremo una forma trilineare in yj*, Sa?,, i cui 
coefficienti forniranno, per definizione, il sistema derivato richiesto. 
Ora la F non è che il prodotto scalare dei vettori £ ed r¡, che, 
come sappiamo, non si altera nel trasporto per parallelismo: quindi 
avremo SF — 0 qualunque siano £, tj e i Sa?, il che significa che tutti 
i coefficienti di questa forma sono identicamente nulli. 
In modo analogo si dimostra che sono nulle le derivate cova 
rianti delle a ik : interverrà in questo caso l’espressiome 
F = Z ik a lk Ui v k , 
i 
che è ancora il prodotto scalare dei vettori (arbitrari) u, v. 
§ 4. — Derivazione contravariante. — Yi è nel calcolo diffe 
renziale assoluto come una legge di reciprocità o di dualità, che per 
mette di trarre da ogni teorema o formula un teorema o una formula 
reciproca, scambiando fra loro le parole covariante e contravariante, 
e portando gli indici dalla posizione in alto a quella in basso e vice 
versa. He abbiamo già visti diversi esempi: accenneremo ora breve 
mente all’operazione di derivazione contravariante, che fa riscontro 
all’operazione precedentemente descritta. 
Il modo più breve per dedurre da un sistema A (h) il sistema A {h) '' , 
(*) (0 
che gode le proprietà reciproche di quelle delle derivate covarianti, 
consiste nel derivare covariantemente il sistema dato, e poi com 
porlo col sistema delle a kl : fare cioè