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Si troverebbero, per questo sistema, una espressione analoga alla [4] e 
proprietà del tutto corrispondenti a quelle delle derivate covarianti, le 
quali si possono del resto ricavare subito dalle suddette, in base alla 
precedente formula di definizione. Perciò non insistiamo su questo 
argomento, e torniamo invece a trattare le proprietà »'fondamentali 
della derivazione covariante. 
§ 5. — Conservazione delle regole del calcolo differen 
ziale ordinario. — Cominciamo dal considerare un tensore, gene 
ralmente misto, che sia la somma di altri due, degli stessi rango e 
specie, cioè 
A (i) - B 0) + C U) • 
Si constata immediatamente che la derivata covariante del 
sistema A si ottiene, come una derivata ordinaria, sommando quella 
di B con quella di G, cioè 
A° l) = B {h) + C ( 7 . [11] 
(i)l (i)l (i)l 
Questa formula risulta sia dalla linearità della [4], sia dalla consi 
derazione che la forma F, relativa alle A, risulta dalla somma di una 
forma relativa alle B, e una relativa alle G, e altrettanto quindi avviene 
( ft) 
di 8F: i coefficienti di questa (cioè, per definizione, le saranno 
dunque formati «sommando i corrispondenti coefficienti delle altre 
due (che sono, per definizione, B^'^ e . Il ragionamento si 
estende senza difficoltà a una somma di quantisivogliono addendi. 
Passiamo a esaminare la derivata di un prodotto. Indicando 
yO 1 ) 
A' 1 ) 
con B , , G „ due generici tensori, denoteremo con 
) 
e ) 
<> = jj?V cV 
(0 (.i ) u > 
il loro prodotto, intendendo che il simbolo (i) rappresenti il complesso 
degli indici (%') e degli indici (i"), e analoga convenzione facendo 
per (h). Dimostreremo che 
(h) 
Ai) i 
K'I ■ GA + ■ C T< 
(l)l (l ) (t ) u ) 
,(* ) 
(H') 
A h )