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§ 8. — Alcune leggi di trasformazione. Sistemi e. Prodotto 
vettoriale. Nozione di estensione di un campo. — Conside 
riamo una R-pla di sistemi covarianti semplici A a | ■ (in cui a è il nu 
mero d’ordine del sistema, e i l’indice di covarianza) e il relativo de 
terminante 
V ~ | | i 11 * 
Eseguendo un cambiamento di coordinate, cioè passando dalle x 
a altre variabili x, le A a 1 1 si trasformano (giusta la legge di covarianza) 
in certe A a ij^ ; formiamo il determinante di queste nuove quantità 
V — ; | i | • 
Dimostreremo che la relazione fra y e y è 
V = VD [20] 
dove con D si è indicato il determinante jacobiano della trasfor 
mazione, cioè 
D = ( x ! i 
V»i • • • ®n/ 
che è — beninteso — diverso da 0, supponendosi sempre che si 
tratti di trasformazioni effettive. La [20] si giustifica subito, ese 
guendo, per righe con la nota regola, il prodotto dei due determi 
nanti a secondo membro, che scriviamo per disteso: 
^1 il 
^1 1 2 
• 1 n 
dX 1 
dX 2 
dX n 
dx 1 
dX, 
dx 1 
\\-2 
A 3 1 2 
. X 2 1 n 
dX l 
Sx z 
dX n 
• 
dx 2 
dX 2 
dX 2 
dX x 
dX 2 
òx n 
A n | i 
K\. 2 • 
• ^n\n 
— 
• 
dx n 
èx n 
dx n