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§ 5. — Indipendenza di n funzioni di altrettante variabili. 
Condizione necessaria e sufficiente. — Risulta da quanto pre 
cede, che, se il determinante funzionale di n funzioni di altrettante 
variabili non è identicamente zero, questa proprietà si conserva 
anche quando alle primitive variabili se ne sostituiscono altre mediante 
la trasformazione [1] (con la clausola A =|= 0), o, come si suol dire, 
questa proprietà è invariantiva. Appare quindi opportuna la seguente 
Defi ni zi o n e . Si dice che n funzioni di n variabili sono 
indipendenti, quando il loro determinante funzionale non è identica 
mente zero. 
La ragione per cui questa proprietà si designa con la parola 
indipendenza, risulta dal seguente 
Teorema. Condizione necessaria e sufficiente perchè n fun 
zioni u di altrettante variabili x non siano legate da alcuna relazione 
(derivabile) del tipo 
f (ui, U2, ..., Un) = 0, [3] 
involgente le sole u e non le x, è che il determinante funzionale non 
sia identicamente zero. 
Dimostreremo dapprima che la condizione è sufficiente; poi 
dimostreremo che è anche necessaria, ma limitandoci, per ora, ad 
un caso particolare: il teorema in tutta la sua generalità risulterà 
poi contenuto in un altro teorema, ancora più generale (cfr. § 7). 
Supponiamo che sia soddisfatta la condizione 
D = 
U1 . 
. . Un 
Xi . . 
. . Xn 
[4] 
dimostreremo allora che non può esistere alcuna relazione del tipo 
[3] (beninteso, non identica; escludiamo cioè che la [3] sia soddisfatta 
prendendo le u arbitrariamente, nel qual caso essa non rappresen 
terebbe alcun legame fra le u). Difatti, se esistesse, derivandola ri 
spetto a x x , ...,x n , si avrebbero n equazioni 
n 
I 
àj_ du^ 
,a ÒU * 
a = i, 2, 
lineari ed omogenee nelle ; ora, poiché / è per ipotesi una e flet 
ta 
tiva funzione, queste derivate non sono tutte nulle, e allora le equa-