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zioni ora scritte dovrebbero aver nullo il determinante dei coeffi 
cienti. il quale è D, ciò cbe contraddice all’ipotesi. La condi 
zione [4] è dunque sufficiente perchè non esista alcuna relazione del 
tipo [3]. 
Per dimostrare che la condizione [4] è necessaria, faremo ve 
dere che, se essa non è soddisfatta, cioè se 
[5] 
D = 0 
le u sono legate da una relazione (almeno) del tipo [3]; ci limiteremo, 
per ora, al caso che fra i minori d’ordine n — 1 del determinante J> 
ve ne sia almeno uno non nullo. Questo sarà, in generale, del tipo 
dove pi,...,p n —ie ..., rappresentano due qualunque dispo 
sizioni di n — 1 indici, scelti senza ripetizione tra i numeri 1, 2,..., n. Ma 
poiché è indifferente l’ordine col quale si fanno corrispondere le x e 
le u ai numeri 1, ..., n, potremo, senza diminuire la generalità, sup 
porre la designazione delle variabili fatta in modo che D' sia il minore 
formato dalle prime n — 1 righe ed n — 1 colonne; avremo dunque 
f6] 
D 
Questa condizione esprime il fatto che fra le prime n — 1 fun 
zioni non passa alcuna relazione. 
Ora sappiamo, che se si eseguisce sulle a? una trasformazione (ef 
fettiva), dall’ipotesi [5] segue che è anche nullo il determinante 
delle u rispetto alle nuove variabili y. Prendiamo queste legate alle 
x dalle seguenti relazioni: 
y 1 = Ux (xi , . . ., Xn) 
Vn^-x = u n-1 (®i, ...» ®») , 
yn = Xn. 
[7]