— 19 — 
m), fra 
è stato 
die fun- 
= m —1; 
a mente 
Eisolvendo queste equazioni rispetto alle x, e sostituendo le 
espressioni ottenute in u n+1 , ..., u m , avremo queste in funzione 
di ui, ..., un, e così resta dimostrato l’asserto. 
Caso 2 è ); k<Cm, lc<ln. L’ipotesi è che esista un determinante 
d’ordine Jc non nullo, e che ogni determinante d’ordine superiore sia 
invece zero. Ordiniamo le u e le x in modo che sia 
iste un 
i al §5, 
D = ( Ui M=|=0. [9] 
\Xi ■ •• Xk) 
Faremo vedere che una qualunque u h (con h = Jc + 1, ..., m) 
si può esprimere mediante la prime li funzioni u, senza coinvolgere 
le x. A tal uopo, consideriamo il determinante 0 formato orlando D 
con la colonna /¿ esima e la riga li + l esima della matrice; poiché esso 
è di ordine fc + 1, sarà per ipotesi nullo, cioè 
0 = ( U i ' * ' Uk Uh ) = 0 . [10] 1 
\Xi . . . Xfr X; t -4-i / 
1 
te nes- 
Ora, in virtù del teorema dimostrato a § 5, da questa uguaglianza 
e dalla [9], si può concludere che u h è esprimibile mediante Ui ,.., u k , 
dine n, 
senza l’intervento di xi, ..., x k , x k+ j ; cioè, (poiché nulla possiamo 
ancora dire sulle rimanenti x) 
;sso sia 
u h — 9 {Ui , ..., U k \x k + 2, ..., Xn) . [11] 
»rimere 
20 così 
torizza 
Il nostro assunto sta ora nel dimostrare che in questa espres 
sione le a? /t + 3 , ..., x n effettivamente non entrano. Se n — li +1, 
non vi è luogo a considerare x k + 2 , ..., x n , e quindi la [11] rap 
presenta proprio la desiderata espressione di u h mediante le sole 
wi, ..., u k . Se ciò non è, denotiamo con xj una generica delle 
+ ..., xn, e consideriamo il determinante ©', ottenuto da 0 
sostituendo x k+1 con x Jt 
v^e va- 
fui . . . U k U h \ q 
Ui ••• Xk Xj) 
Esso è nullo, perchè è un minore di ordine li +1 estratto dalla 
matrice: ma se lo scriviamo per disteso e, badando alla [11], vi fac-