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S n + x esiay 1 , y 2 y n + 1 un suo sistema di coordinate cartesiane, 
talché 
»1+1 2 
ds 2 = 2 V dy v . 
i 
Si consideri una ipersuperficie ( quando non c’è pericolo di ambi 
guità, si dice comunemente superficie) V n immersa in 8 n + l , e definita 
dalle equazoni parametriche 
* yv = yv ®a» •••»»«) (v = l, 2 + 1). [10] 
La matrice funzionale di queste equazioni deve essere, come sap 
piamo, di caratteristica n (cfr. Cap. V, § 1). 
Definiamo anzitutto come ovvia estensione del caso ordinario 
(n = 2) la direzione di 8 n + 1 normale alla V n in un suo punto gene 
rico P. 
Indichiamo all’uopo con a v (v = 1,2 , ..., n -f 1) i coseni della 
direzione che si tratta appunto di cara-tterizzare, rispetto agli assi y y 
(vale a dire i parametri, o i momenti, che in uno spazio euclideo 
non sono distinti): questi coseni saranno legati dalla solita identità 
quadratica 
n + 1 2 
2 oc =-. 1 . [11] 
1 V V L J 
La proprietà geometrica che si tratta di tradurre è che la dire 
zione di coseni oc v è perpendicolare ad una qualsiasi tangente alla V n 
in P, o, cioè che è lo stesso, a qualsiasi spostamento elementare dP, 
tangente alla V n stessa e quindi tale che (a meno di infinitesimi d’or 
dine superiore al primo) non fa uscire dalla superficie. Ogni sposta 
mento siffatto deve rispettare le [10], corrispondendo del resto a incre 
menti arbitrari dx, delle x. Detti dy v gli incrementi subordinati nelle 
coordinate cartesiane y v , dovranno in conformità le oc verificare 
l’equazione 
il 1 
dy v = 0 [11] 
ì 
per tutti i sistemi di dy v , provenienti dalle [10], ossia per 
dy v =: 2, yv , i dx, -[12] 
ì 
coi dxi arbitrari.