dalla richiamata identità quadratica che dà aikfifk = p 2 - Il primo 
i 
membro non può annullarsi, in quanto, per ipotesi, una almeno delle 
fi è diversa da zero: così siamo anche assicurati che p=|=0. In defi 
nitiva, data la famiglia di superficie f = cost, rimane univocamente 
individuata la direzione ortogonale, su cui il verso positivo può ancora 
essere scelto a piacimento (in corrispondenza al doppio segno di p). 
Note, in funzione del posto, le X t -, se ne traggono gli elementi reci 
proci X' e quindi, in base alle [1], una congruenza di linee che tagliano 
ortogonalmente le superfìcie di un’assegnata famiglia. Viceversa, data 
a priori una congruenza di linee, mediante i suoi momenti X» (da con 
siderarsi come funzioni assegnate del posto), 'affinchè le linee della 
congruenza si possano risguardare come traiettorie ortogonali di una 
famiglia di superfìcie / = cost, occorre che le derivate della (a priori 
incognita) funzione / {x 1 , x„, ..., x n ) verifichino le [5], designando p un 
fattore non nullo, ma a priori indeterminato. Una tale f non sempre 
esiste, anzi abbiamo già visto (Gap. II, § 7) che le condizioni neces 
sarie e sufficienti perchè esista (le [23] del detto Cap.) sono 
Xi 
dXj 
,dX k 
dXk 
8Xj 
/dX h 
n| 
1 
1 
1 
Mi 
1 
o 
II 
Ni 
\ dXi 
dX k J 
\ dXj 
èXi ) 
II 
riè 
1,2,.. 
•,n) 
[6] 
(dove si deve ora assumere Xi = X», Xp— X y , X k = X /f ). Di queste sol 
tanto una parte — per es., quelle in cui l’indice le ha il valore 
fìsso n (le [20] del citato capitolo) — sono distinte, le rimanenti 
risultandone conseguenza necessaria. 
§ 2. — Ennuple di congruenze. Caratterizzazione di un 
vettore mediante n invarianti. — Consideriamo ora, in una V n 
generica, n congruenze di linee: in ogni punto saranno così fissate n 
direzioni X,, X 2 ,..., X n . Noi supporremo inoltre che queste direzioni siano 
due a due ortogonali, e diremo allora di aver fissato nella V n una 
ennupla di congruenze ortogonali. 
I parametri e i momenti di queste congruenze avranno, natu 
ralmente, due indici, di cui il primo rappresenta il numero d’or 
dine della congruenza: diremo congruenza (fi) quella di parametri 
X 1 , X~ , ..x” e di cui quindi i momenti sono gli elementi reci- 
proci Xah, X A1 2,..X ftin (rispetto al ds 2 della varietà).