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e, passando agli elementi reciproci, anche
/' =
n
Ss k
?
[10"]
che corrisponde alla [8'].
In generale, sarebbe facile dimostrare che, quando è fissata una
ennupla di congruenze, un tensore di rango ni si può caratteriz
zare mediante n m invarianti, anziché per mezzo di altrettante com
ponenti covarianti, contravarianti o miste, in modo del tutto ana
logo a quello con cui abbiamo caratterizzato un vettore per mezzo
di n invarianti. Ciò permette di semplificare lo studio di talune
questioni, donde l’opportunità di approfondire un poco le conside
razioni sulle ennuple di congruenze.
§ 3. — Definizione geometrica dei coefficienti di rotazione
del Ricci. — A tal uopo conviene introdurle un sistema di inva
rianti differenziali intimamente legato alla ennupla di congruenze.
Vi giungeremo speditamente nel modo seguente.
Consideriamo due punti vicinissimi P e P', della V n : in ciascuno
di essi le linee delle n congruenze determinano una piramide (gene
ralizzazione del concetto di triedro) di direzioni mutuamente orto
gonali. Se \ , ..., ~k n sono le n direzioni spiccate da P, chiameremo
X = X -f 8' X , ..., X = X +8' X quelle spiccate da P', e diremo che
si passa dalle prime alle seconde per trasporto locale, cioè secondo la
legge, previamente fissata, che regola l’andamento delle oo n - 1 linee
dell’ennupla. Ma si può anche trasportare la piramide di direzioni,
da P in P' per parallelismo: si otterranno allora in P' n direzioni
mutuamente ortogonali X* — X + 8*X , ..., X* = X + 8*X , non coin-
11 V 7 n n n 7
cidenti, in generale, con quelle ottenute per trasporto locale. Si
avranno così in P' due piramidi infinitamente vicine tra loro, perchè
entrambe infinitamente vicine all’ennupla \, X 2 , ..., X n . Ciò implica
in particolare che la ¿ esima direzione dell’uria forma un angolo infi
nitesimo con la ¿ esima direzione dell’altra, e un angolo vicinissimo
JC
a — con le rimanenti n — 1 direzioni dell’altra. Vogliamo studiare
questi divari infinitesimi.
A tal uopo, consideriamo due direzioni \ h , \ k della piramide
