19. — T. Levi-Civita, Lezioni di calcolo differenziale assoluto. 
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ossia, sostituendo infine i' e f con i e j, 
n 
[16] 
Di qui apparisce che, per studiare le proprietà differenziali 
(dipendenti cioè dal modo di variare delle X) delle linee delle nostre 
congruenze, basterà fissare l’attenzione sugli invarianti y, mercè cui 
si esprimono tutte le derivate delle X. 
Il significato geometrico delle y, che già abbiamo illustrato, 
diviene poi particolarmente espressivo nel caso dello spazio ordinario. 
In tal caso le tre congruenze definiscono in ogni punto una terna di 
direzioni ortogonali, ep 32 , p 3l , p 12 , non sono altroché le componenti 
di un vettore w tale, che co ds è la rotazione elementare che subisce 
la terna nel trasporto locale da P a P' ( 1 ). 
Tornando al caso generale, segnalerò ancora una memoria della 
sig. na Carpanese ( 2 ), dove si studia il parallelismo in relazione ad 
un’ennupla assegnata. 
§ 4. — Formula di commutazione delle derivate secondo 
gli archi. — Gli invarianti y intervengono in un’altra formula 
importante, che ora stabiliremo. 
Vogliamo confrontare le due derivate seconde 
J_ Bf e B 8f ; 
ds k ds h ds h dSk 
troveremo che esse non sono uguali, ma son legate da una relazione 
più complessa, involgente anche le derivate prime e le y. 
df 
Si ha in primo luogo dalla [10], derivando l’invariante -- rispetto 
ds k 
ad Xj ed applicando al secondo membro la regola di derivazione del 
Gap. V, § 6, 
n 
n 
(i) Cfr. per es. Levi-Civita e Amaldi, Lezioni di Meccanica Razionale, Bologna: 
Zanichelli, 1928, pag. 178. 
C 2 ) Parallelismo e curvatura in una varietà qualunque, Annali di Mat., T. XXVIII, 
1919, pp. 147-169.