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§ 5. — Caso in cui una delle congruenze dell’ennupla è 
geodetica. — Supponiamo che una delle congruenze dell’ennupla 
sia geodetica (cfr. § 1): potremo sempre supporre, senza diminuire la 
generalità, che questa sia la (n). Ci proponiamo di trovare quale par 
ticolarità presentano in tal caso i coefficienti di rotazione y. 
Basterà applicare le [2'] che ci forniscono le seguenti relazioni, 
per gli elementi della direzion e A n : 
[18] 
Moltiplichiamo per A^ , e sommiamo rispetto a i: ricordando 
la formula di definizione delle y, troviamo 
(/¿ = 1,2, ...,n) 
Y nhn fi 
[18'] 
equivalenti alle [18], come si potrebbe verificare moltiplicando per 
Ah\i, sommando rispetto all’indice In e badando alle [16]. 
Le n equazioni [18'] hanno carattere invariantivo non solo di 
fronte a tutti i possibili cambiamenti di coordinate, ma anche di fronte 
a qualsiasi cambiamento delle n — 1 congruenze (1), (2) , ..(n — 1), 
che formano con (n) nn’ennupla ortogonale: infatti, per stabilire 
le equazioni [18] non si è dovuta fare nessuna ipotesi particolare sulla 
scelta di tali n — 1 congruenze. 
In particolare, se lo spazio è euclideo, le [18'] ci danno la carat 
terizzazione intrinseca delle congruenze rettilinee. 
§ 6. — Curvatura geodetica di una delle congruenze del 
l’ennupla. — Tornando al caso che la (n) sia una congruenza ge 
nerica, vogliamo mostrare che gli n invarianti y n/m (li — 1,2,..., n) 
hanno un’espressiva interpretazione geometrica. Si ricordi a tal uopo 
che il primo membro della [2'], che abbiamo denotato con p k , non 
è altro che una componente covariante della curvatura geodetica p 
(Cap. V, § 25). 
Se la congruenza che si considera è la (n), possiamo dunque 
scrivere 
n 
Pk = 2, A, 
i