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Ora, il vettore p, conformemente a quanto si è detto al § 2, si 
può rappresentare per mezzo degli n invarianti 
( ‘h 
n 
k 
ì 
che ne forniscono le proiezioni ortogonali sulle linee dell’ennupla. 
Effettuando questa operazione sull’espressione di p k data testé, 
si trova 
Oh — Ynhn • 
si vede da ciò che gli invarianti y nhn {h = 1,2 ,... ,n) rappresentano 
le proiezioni ortogonali sulle linee dell’ennupla del vettore curvatura 
geodetica della congruenza (n). 
§ 7. — Caso in cui una delle congruenze dell’ennupla è 
normale. Normalità completa. Relazioni differenziali verifi 
cate in ogni caso dalle y. — Supponiamo che la (n) sia una 
congruenza normale. Sappiamo che l’equivalente condizione analitica 
è data dalle [6] dove basta assumere = X„ i Si ha cosi 
|k (À № Iij "Knji) "4~ I i n jk ^n\kj) + \j (^n Iki \i\ik) — 0 j 
(h Ì? = • • •} 
Ora si moltiplichi questa equazione per X ^ / dove Jc' e i’ 
sono due nuovi indici scelti fra 1, 2, ..., n — 1, e si sommi rispetto 
a i e le da 1 a n: ricordando la [13], si ottiene 
K , 3 (ynki ~ Ynik) = 0 . [19'] 
Siccome, j essendo qualunque, si può sempre scegliere tale che 
X n =|= 0, se ne trae 
Ynki — Ynik (b /ì = 1, 2, .. ., % 1) , [20j 
dove si è scritto i, le in luogo di i', le'. Reciprocamente, se sono 
verificate le [20], ne risultano le [19'] e quindi anche le [19] come 
necessaria conseguenza. Le [20] costituiscono pertanto la condi 
zione richiesta.