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In questa il coefficiente del prodotto z k z t è y n ia + yniu , cioè il 
primo membro di [21]. Se vogliamo soddisfare le [21], dovremo, per 
mezzo della sostituzione ortogonale [22], che scriveremo 
m 1 
[22'] 
rendere nulli tutti i coefficienti dei termini in z k z,, con le =|= l : ciò 
significa ridurre la forma quadratica invariante [23'] alla forma canonica 
ì 
per mezzo di una sostituzione ortogonale. Tale problema algebrico è 
sempre solubile. Nel caso di n — 1 = 2 o 3, esso corrisponde alla ricerca 
degli assi di una conica o di una quadrica, ed è trattato in geometria 
analitica. Nel caso generale, la teoria conduce al risultato seguente. 
Si consideri l’equazione 
i (Ynki + Ynik) —- & , P '1 = 0 
[24] 
che è di grado n — 1 nell’incognita p, e si chiama equazione secolare. 
Le sue n— 1 radici sono sempre reali (s’intende che supponiamo 
reali le y n ja) e forniscono gli n — 1 coefficienti p* della forma cano 
nica [23"] i 1 ). 
Si può dunque sempre scegliere, in ogni punto P, la piramide co e 
quindi il sistema delle n — 1 congruenze (1), (2),..., (n — 1) in modo da 
soddisfare le [21]: esiste cioè sempre almeno un sistema canonico 
rispetto a una congruenza data. Se le w — 1 radici della [24] sono tutte 
distinte, il sistema canonico è determinato in modo unico; se esse 
sono tutte eguali tra loro, qualunque sistema di w — 1 congruenze 
ortogonali fra loro e alla (n) soddisfa le [21] e può chiamarsi quindi 
canonico. Nel caso generale che le radici distinte siano 
V (l<i»0 —1) 
(!) Per le dimostrazioni ofr. per es. L. Bianchi, Lezioni di Geometria Analitica (Pisa: 
Spoerri, 1915), Appendice.