per far rilevare che basta limitare un poco l’arbitrarietà dei differen 
ziali secondi delle variabili indipendenti perchè risulti 8du = d8u, 
qualunque sia la funzione u. 
Intanto, operando sulla prima delle [7] la differenziazione eoi 
simbolo 8, si ha (senza alcuna ipotesi restrittiva) 
n n ò a W 
[8] 
D’altra parte il d8u ha manifestamente un’espressione analoga, 
che si ottiene scambiando materialmente, nella formula precedente, d 
con 8. Ora, la prima parte della formula non si muta con tale 
scambio: nella seconda invece 8dx i viene sostituito con d8x h Se 
noi perciò imponiamo alle funzioni arbitrarie dx e 8x del posto ]a 
condizione (abbastanza poco restrittiva) 
[9] 
d8x, ■= 8dx t 
(i = 1,2 , ... ,n) 
anche l’ultima sommatoria della [8] resterà immutata scambiando 
d con 8, e si avrà quindi, per qualsiasi funzione u (xi , o?a , ... , x n ) , 
d 8ìi =. 8 du . 
[10] 
Ricordiamo incidentalmente che nel calcolo differenziale si fa 
di solito una ipotesi assai più restrittiva della [9]: si conviene cioè 
che i differenziali secondi delle variabili indipendenti siano nulli, 
ossia che i dx siano non già funzioni del posto, ma costanti. 
Ora vogliamo considerare, accanto agli incrementi delle variabili 
indipendenti, anziché una funzione u coi suoi differenziali, un generico 
pfaffiano 
U 
== S £ Xi dx i . 
in cui le X sono funzioni assegnate delle x. 
Abbiamo apposto l’indice d, per mettere in evidenza che il 
pfaffiano si riferisce agli incrementi dx { , mentre lo stesso pfaffiano,