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rico e la struttura formale dei due membri della [11] rimangono 
sempre gli stessi, quando si cambiano in modo qualunque le varia 
bili indipendenti x. Ma su questo punto torneremo più innanzi (cfr. 
Cap. VI) in relazione alla nozione generale di enti (funzioni o forme 
differenziali) invarianti. 
Notiamo intanto che, se il pfaffìano è un differenziale esatto, 
cioè se sono soddisfatte le [3], il secondo membro della [11] risulta 
nullo, e si ritrova un risultato già noto (v. formula [10]). 
Tutto ciò premesso, riprendiamo in esame il sistema [4], e le 
sue condizioni di illimitata integrabilità. Consideriamo gli m pfaffìani 
che costituiscono i secondi membri delle [4]: 
e formiamone i covarianti bilineari. Dimostreremo che l’essere questi 
identicamente nulli (comunque siano scelti i dx e 8x) è una con 
dizione perfettamente equivalente all’essere le [5] verificate identi 
camente per qualunque determinazione delle u, talché la condizione 
di illimitata integrabilità potrà scriversi sotto la forma 
(a = 1,2, . ..,m) , 
con l’intesa che tale eguaglianza deve aver luogo per valori arbi 
trari dei dx e 8x ( x ). 
Infatti, scriviamo, a norma della [11], l’espressione esplicita 
di questi covarianti bilineari, tenendo presente però che nel fare 
le derivazioni le X debbono considerarsi funzioni delle x, e diretta- 
mente, e per il tramite delle u, onde le derivate dovranno indicarsi, 
secondo la convenzione già fatta, col simbolo di derivata totale; la 
[12] diverrà dunque 
dXi 8Xj = 0 
(Ò In verità ai differenziali secondi 'òdxi abbiamo imposto la restrizioni [8], ma 
queste lasciano ancora perfettamente arbitrari gli incrementi infinitesimi dxi , fiX( da 
attribuire alle xì nel posto (generico) che si oonsidera.