Ora, se sono soddisfatte le condizioni di illimitata integrabilità
[5], i coefficienti di questa forma bilineare (cioè le espressioni in
parentesi) sono tutti nulli, e quindi l’eguaglianza è soddisfatta co
munque si prendano i dx e i 8x. Viceversa, supponiamo che quest’ul-
tima circostanza abbia luogo; allora dovranno necessariamente
essere nulli tutti i coefficienti: per vederlo basterebbe prendere tutti
i dx, $x nulli, salvo una coppia, p. es. dx t , 8Xj (dove i e j sono due
indici scelti fra 1,2, arbitrari, ma ben determinati); allora,
nella [12'] la sommatoria si ridurrebbe al solo termine
dJC % i j
dxj
dx/ Sxj
il quale non potrebbe esser nullo se non fosse
I i a I j ^
dXj dXi
Si può dunque concludere che le condizioni [5] possono compendiarsi
nella [12].
§ 5. — Metodo di integrazione del Morera ( x ). — Dimostreremo
ora che le condizioni di illimitata integrabilità sono sufficienti per
l’integrabilità, più precisamente che, se esse sono soddisfatte, esiste
una (e una sola) emmupla di funzioni u(x) che soddisfa il sistema
di equazioni proposto, e assume valori arbitrariamente prefìssati in
un punto pure prefissato. Riguardando (come è evidentemente il
caso) questi valori iniziali delle u quali costanti arbitrarie, si potrà
dire in forma più sbrigativa che l’integrale generale dipende da m
costanti arbitrarie, oppure che esistono co m integrali.
Per la dimostrazione, cominciamo appunto col fissare a piaci
mento, nel campo di variabilità delle x, in cui sono definite le
X, un punto generico, P 0 (#“, x\, ...,&“) . Sia poi Pi (x\, x\, ..., ad)
uri altro punto arbitrario nel campo, e immaginiamolo congiunto a P 0
mediante una linea T, la quale non esca mai da quel campo.
Essa sarà definita mediante equazioni parametriche
®i=--<Mt) (i = 1,2, ...,№) [13]
p) Zur Integration der vollständigen Differentiale, Math. Ann., B. 27, 1886, pp. 408-411.
Ofr. altresì Severi, Sul metodo di Mayer per l'integrazione delle equazioni lineari ai
differenziali totali, Aiti del R. Jst. Veneto, T. LXIX, 1910, pp. 419-425.
