3 — T. Lkvi-Civttaì Lesioni di calcolo differenziale assoluto. 
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dove t è un parametro che assume il valore U in Po e il valore L in Pi. 
Limiteremo provvisoriamente il nostro studio ai punti di questa linea, 
cosicché le eventuali funzioni del posto u saranno, per ora, da con 
siderarsi quali funzioni della sola variabile t (pel tramite delle x 
e delle [13]). Le loro derivate saranno 
n 
(a = 1,2, . . ., m) 
ì 
ovvero indicando con un punto la derivazione rispetto a t, e ba 
dando alle [4'], 
n 
[14] 
o anche 
(a = 1,2, ... ,m). 
dt dt 
Le x t sono funzioni conosciute di t a norma delle [13]; quindi 
qtleste equazioni sono del tipo 
du a 
-, P a ( 11 U i, Uv , . . ., U m ) 
(a = 1,2, . . ., m), [14"] 
cioè formano un sistema di equazioni differenziali ordinarie, in 
forma normale. È noto dal calcolo come (sotto limitazioni qualita 
tive di continuità e derivabilità, che qui supponiamo senz’altro sod 
disfatte), assegnate ad arbitrio m costanti u\, u\, ..., u° , esistono m fun 
zioni u a (t) che soddisfano quel sistema, e che, per t — U , assumono 
quei valori: dati dunque ad arbitrio i valori delle u in Po, queste 
restano definite lungo tutta la linea T, e quindi anche in Pi. Potrà 
darsi però (e, in generale, così avviene) che, se i punti Po e Pi si 
congiungono con un’altra linea, invece che con T, si trovino, per 
le w in Pi, dei valori diversi. Ma ora dimostreremo che, se sono 
soddisfatte le condizioni di illimitata integrabilità, il valore delle u 
in Pi, trovato col metodo ora descritto, è indipendente dalla linea T, 
sicché queste u saranno funzioni solo delle coordinate di Pi, ossia 
funzioni del posto: esse soddisferanno il sistema di equazioni pro