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posto non solo lungo una linea, ma lungo tutte le infinite linee che 
si possono tracciare nel campo dato, ossia in tutto questo campo: 
e costituiranno quindi, come verificheremo ulteriormente, proprio le 
richieste soluzioni del sistema ai differenziali totali [4]. 
Faciliteremo il nostro compito ricorrendo a considerazioni infi 
nitesimali, cioè facendo intanto vedere che i valori delle u in Pi 
non variano, se la linea T si deforma infinitamente poco: ne verrà 
di conseguenza che essi saranno gli stessi, per qualunque linea che 
si possa ottenere da T con una successione di deformazioni infinite 
sime, cioè con una deformazione continua della T; se supponiamo poi 
che il campo sia tale che ogni linea congiungente Po con Pi possa 
ottenersi in tal modo, non ci sarà altro da aggiungere. Campi siffatti 
(quali ad es. un triangolo o un cerchio nel piano, un cubo o una 
sfera nello spazio) si dicono semplicemente connessi. 
Consideriamo dunque una linea T'infinitamente prossima a T: 
possiamo pensarla ottenuta trasportando ciascun punto P della T, 
di coordinate x t in un punto P' di coordinate x t 4- , e gli incrementi 
infinitesimi Sx t potremo per es. assumerli sotto la forma zxl, essendo 
ogni Xi una quantità finita variabile da punto a punto della curva (e 
quindi funzione di t) e e un fattore infinitesimo (costante, cioè) indi- 
pendente da t. Con tali determinazioni le equazioni parametridhe 
della curva T' saranno 
Xi + 8xì = 9, (t) -f- s Xi (0 
[15] 
Le funzioni xi si possono riguardare arbitrarie, salvo la condi 
zione di annullarsi per t — U e per t — U, affinchè le linee T e T' 
abbiano gli stessi estremi. Indicheremo — come è naturale — con 
l’operatore 8 l’incremento che subisce una generica quantità (scalare 
o vettoriale) nel passaggio dal punto P di T al punto corrispon 
dente P' di T'. 
Ciò premesso, immaginiamo integrate le [14"] lungo T'\ avremo delle 
funzioni di /, u a + , soddisfacenti le equazioni 
(a = 1, 2, .. ., m) 
ossia, 
d 8 w a 1 
dt di 
■ ìì; ■ = • • = ■•