sfruttando l’ipotesi [12], esprimente la illimitata integrabilità, pos 
siamo anche scrivere 
d Sw a d 4* 5 
dt dt 
[16] 
Dal teorema di esistenza degli integrali dei sistemi differenziali 
ordinari (già richiamato a proposito delle [12']) segue che le sono 
determinate univocamente da queste condizioni e da quella di annul 
larsi in P 0 : ora, queste equazioni [16] sono evidentemente soddisfatte 
prendendo 
[17] 
(cioè assumendo per le 8u a le espressioni loro spettanti nel caso che 
le u siano effettivamente funzioni del posto): tali espressioni si 
annullano dove si annullano le &r £ , cioè in P 0 — e con ciò verificano 
la condizione iniziale che, associata alle [16], le individua univoca 
mente — nonché in Pi, il che dimostra ciò che si voleva. 
Pesta così provato che per costruire le funzioni u i cui differen- 
(<*) 
ziali totali sono gli assegnati pfaffiani ^ (soddisfacenti identica- 
d 
mente la [12] ovvero le originarie [5]) e che in un punto dato P 0 assu 
mono dati valori u\, basta congiungere Po con il punto generico Pi 
mediante una linea qualunque T, e integrare lungo T il sistema di 
equazioni differenziali ordinarie [14]. 
Per essere completi, conviene ora far vedere che le funzioni 
delle coordinate di Pi , che così si ottengono, hanno effettivamente 
(a) 
per differenziali i ij; . Consideriamo infatti un punto P 2 infinita- 
d 
mente vicino a Pi,' e, per costruire i valori delle u in P 2 , utilizziamo 
la spezzata formata da T, e dal segmentino Pi P 2 . È evidente allora 
che eseguendo l’integrazione delle [14] lungo questa linea si ha, nel 
(a) 
passaggio da Pi a P 2 , l’incremento du a = 4 1 
d 
§ 6. — Cenno sul metodo di Mayer. — Il metodo, seguito nel § 
precedente, per dimostrare l’esistenza degli integrali di un sistema 
ai differenziali totali completo, è dovuto al Morera.