37 
) metodo, 
icio pura- 
ne geome- 
tifìcio del 
segmento 
re alle [13] 
ille consi- 
per appli 
cui sono 
■ l’altro è 
cioè due 
iante una 
ì dicendo, 
o 
b del tipo 
[18] 
[19] 
Iella [18], 
[181 
All’uopo è manifestamente necessario e basta che le derivate 
dell’incognita funzione / risultino proporzionali alle assegnate fun 
zioni X t . 
Si tratta pertanto di riconoscere sulle X,- stesse, quando si dà 
la circostanza particolare che siano proporzionali alle derivate di 
una medesima funzione a priori indeterminata. 
Questo problema, che si presenta anche in questioni geometriche 
(come vedremo in particolare nel Cap. X), si riconduce subito a un 
caso particolare di sistema ai differenziali totali. Infatti, supponiamo, 
come è sempre lecito, dato che ^ non si annulla identicamente e ha 
quindi almeno uno dei suoi coefficienti diverso da zero, che X n non 
sia identicamente nullo: potremo allora scrivere la [19] sotto la forma 
n — 1 
1 
Per la supposta equivalenza colla [18'] dovrà essere in questa 
=|= 0, il che assicura che l’equazione in termini finiti [18] è atta 
bx n 
a definire una funzione 
X n = u{xi , £Ca , . . . , Xn-1 , C) , [18"] 
la quale rende identicamente verificata la [18] stessa, e per conse 
guenza anche la [18'], nonché le equivalenti [19] e [19']. Quest’ul 
tima, che rientra manifestamente nei sistemi di tipo [4] con una 
sola equazione e una sola funzione incognita x n , deve in conformità 
risultare illimitatamente integrabile, ammettendo l’integrale [18"] 
che dipende dalla costante arbitraria C. Eeciprocamente l’illimitata 
integrabilità della [19'] assicura l’esistenza di una soluzione [18"] di 
pendente da una costante arbitraria C, e quindi, risolvendo rispetto 
a C, di una relazione integrale della voluta forma [18]. Tutto si riduce 
pertanto ad esprimere che la [19'] è illimitatamente integrabile. 
Le condizioni di illimitata integrabilità della [19'] sono, confor 
memente alla [5], 
d X t d Xj 
dxj Xn 
dxi X n 
(i,j = 1,2,...,» —l;i=|=j),