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relazioni che, sviluppando le derivaté, si mettono facilmente sotto 
la forma seguente 
[20] 
(i ,j = 1,2, ... ,n — 1 ; i=\-j). 
Introduciamo per un momento l’ipotesi restrittiva che, al pari 
di X n , anche tutte le altre funzioni X siano diverse da zero. Potremo 
allora porre senza riserve 
e presentare le condizioni di integrabilità sotto la forma più com 
prensiva 
Pu X Vjn "h Pni 0 [i , j — 1, 2, . . ., n — 1 ; i —|—j) • [22] 
(n — 1) (n 
2 
Le [22] sono in numero di 
, cioè quante le possi 
bili coppie di indici distinti i e j, essendo fìsso n. Esse rappresen 
tano tutte le condizioni di integrabilità; siccome però la scelta della 
variabile x n come funzione delle rimanenti x era arbitraria (sog 
getta solo alla condizione X n =\= 0), così dovranno esser verificate, 
più in generale, le relazioni 
[22'] 
Pu + Pjk + Pki = 0 , 
dove i, j, li sono tre indici qualunque, diversi fra loro, scelti fra 
n (n—1) (n—2) 
1, 2,... , n. Le terne i, j, le sono in numero di 
tante sono quindi le [22']: si capisce però che esse non possono esser 
tutte indipendenti dal momento che bastano le [22] (che sono sol 
tanto una parte delle [22']) ad assicurare la illimitata integrabilità. 
Effettivamente è facile mostrare per via diretta che delle [22'] 
„ , [n — 1 )(n — 2) , 
soltanto —— , per es. le [22], sono 
2 
riducendosi a conseguenze algebriche di quelle. 
per es. le [22], sono essenziali, le altre