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ma comunque 'piccole, delle X, è lecito, data la forma intera di queste 
equazioni (nelle X e loro derivate), passare al limite quando qual 
cuna delle X converge allo zero. Si può pertanto ritenere che le [23] 
— o anche soltanto una parte di esse del tipo [20] — costituiscono 
le condizioni necessarie e sufficienti per l’illimitata integrabilità delle 
[19], ossia affinchè le n funzioni X» (x\, x%, ..., x n ) siano proporzio 
nali alle derivate di una medesima funzione. 
§ 8. — Sistemi misti. — In certi problemi si presentano dei 
sistemi misti, cioè formati da equazioni ai differenziali totali, e da 
equazioni in termini finiti: 
du a — ^ % | { dXi 
\ 
F k {x\u) = 0 
(a = 1,2, 
[4] 
(* = l,2,....,v). 
[24] 
La discussione è concettualmente identica a quella svolta nel § 3. 
Vogliamo tuttavia riprenderla, onde indicare, sotto una forma comoda 
pei casi concreti, le condizioni sotto cui un sistema misto del tipo [4], 
[24] è illimitatamente integrabile. 
È evidente in primo luogo che, affinchè esistano soluzioni, è 
necessario che le equazioni [24] (che supporremo compatibili e indi- 
pendenti) siano in numero non superiore a m (numero delle inco 
gnite u). Se poi esse fossero proprio m, ne resterebbero completamente 
determinate le u, e non ci sarebbe che da verificare se queste soddi 
sfano lé equazioni [4]. Supporremo dunque 
v <[ m , 
e immagineremo le [24] risolte rispetto a v delle u, le quali per 
tanto saranno espresse mediante le ir e le rimanenti g = m — v 
incognite u. 
Come al § 3, chiameremo i due gruppi di u rispettivamente 
u"p (p = 1, 2, ..., v) e u\ (a = 1, 2, ..., g), talché le [24] potranno 
scriversi (come già le [5"]) 
=f[i (x\ u') 
(P-1,2,..., v). 
[24'