Analogamente (scambiando A con 1?, e quindi a con b): 
N 
I, 
N 
■«-I 
»7 
,vp ^ V Ò0p 
1 
Di qui apparisce che i due operatori ABfe BAf non sono uguali: però 
la parte del secondo ordine è la stessa, come si vede scambiando fra loro 
gli indici v e p in una delle due sommatorie doppie. Segue da ciò che la 
differenza dei due operatori di cui parliamo è un operatore lineare del 
primo ordine: esso si chiama funzione alternata o parentesi di Poisson 
relativa ai due operatori A e B, e si indica col simbolo operativo (A , B), 
talché 
N 
(A , B)f = AB}-BAf =y (Ah - Ba-, ) A . | 4 j 
Dalla definizione stessa risulta 
(A,B)f = -(B,A)f . 
Stabiliremo ora una proprietà formale degli operatori lineari, di 
cui ei serviremo più avanti. 
Abbiansi n operatori lineari 
N 
1 
e si formino con essi due qualunque combinazioni lineari (che saranno 
pure operatori lineari) 
n 
Bf = k A,J, 
ì 
le X e le g essendo funzioni (derivabili) qualisivogliono delle variabili 
indipendenti z.