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(gli indici 7q, ..., h r costituiscono una qualsiasi disposizione di r 
numeri, scelti da 1 ad n, e gli indici Tc i , , ..., , una qualsiasi disposi 
zione di s numeri, scelti da 1 ad m). Se si ricordano le [21], si riconosce 
che ciascuno dei primi r elementi della riga generica è una combinazione 
lineare dei rimanenti, anzi, come si suol dire, che le prime r colonne del 
determinante sono combinazioni lineari delle rimanenti. Allora quel 
determinante si potrà scindere in una combinazione lineare di deter 
minanti, di ordine m + 1, nei quali tutte le colonne saranno del se 
condo tipo i cioè formate di \. Ma le colonne del secondo tipo sono 
\ àuj 
in tutto m: quindi non se ne possono scegliere m +1 senza ripe 
terne almeno una. Da ciò si conclude che in ciascuno di quei deter 
minanti parziali vi sono almeno due colonne uguali, e quindi che i de 
terminanti stessi sono tutti nulli. È nullo perciò anche il determinante 
generico d’ordine m + 1, che ne era una combinazione lineare. E così 
la prima proposizione è dimostrata. 
Che vi sia un determinante d’ordine m non nullo risulta sen 
z’altro dall’ipotesi che gli integrali v sono indipendenti. 
È dunque dimostrato che la caratteristica di M è m, e quindi 
che la / è esprimibile mediante gli integrali indipendenti v, cioè che ha 
la forma [23]. 
§9. — Studio diretto del più generale sistema di equazioni 
LINEARI, OMOGENEE, ALLE DERIVATE PARZIALI DEL 1° ORDINE. 
Sistemi completi. Sistemi jacobiani. — Prediamo a considerare 
un generico sistema di n equazioni lineari omogenee alle deri 
vate parziali, del 1° ordine, in N variabili (e una sola funzione 
incognita) ; sia 
N 
A,,j = 'S~ «v/ì ~ = 0 (fc = l,2,...,»t). [24] 
1 
Supporremo che queste n equazioni siano indipendenti; e potremo 
anche ritenere n <[ N. Infatti se fosse n^> N, le equazioni, che abbiamo 
supposto indipendenti, considerate come algebriche nelle N quantità 
—, sarebbero incompatibili, e, se fosse n — N, implicherebbero 
ì)Zsj 
senz’altro — = 0, ossia / = cost. Ciò posto, è chiaro che ogni /, la 
5 — T. Levi-Civita, Lezioni di calcolo differenziale assoluto.