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Erster Abschnitt. § 5. 
Verfahren, welches wir im folgenden noch benutzen werden, soll Zeichr 
hier auseinander gesetzt werden. Die Winkel des vorgelegten könne 
Dreiecks ABC sollen mit a, ß, y bezeichnet werden. Man hal- j er 
biere (Fig. 1) die Seite BC in M, ziehe AM und mache MD = AM. 
Wegen der Kongruenz der Dreiecke ACM und DBM ist ABD 
= ß + Y, also die Summe dieser Winkel kleiner als zwei Rechte. 
Halbiert man jetzt DB in N und macht NE = AN, so ist der 
Winkel ABE = ß -f- y -f- CAM, also die letztere Summe kleiner \ 
als zwei Rechte. Macht man diese Konstruktion bei passender Euklid 
Wahl der Seiten, so kann man bewirken, dafs CAM nicht kleiner Dieser 
als \a ist. Folglich ist gewifs /? + 3 / + i or< C2R- Wiederholt auc | 1 
man die Konstruktion beliebig oft, so folgt, wenn n eine Potenz deshall 
von 2 ist, dafs auch ß -\-y ^—- « <C 2R oder dafs ß -j- y Begiifi 
11 gewöh 
-f- a <T 2 R 4- - oc ist. Da aber a beliebig klein gemacht werden hauptu 
n n ö der in 
kann, so kann «+/? + / nicht gröfser als 2R sein. E verl 
Daran schliefst sich folgende Erwägung: Wenn in einem Vorste 
einzigen Dreieck die Winkelsumme zwei Rechte beträgt, so teilt Vorste 
jede von einer Ecke ausgehende Gerade das Dreieck in zwei dann < 
andere von derselben Winkelsumme. Durch passende Zusammen- A keir 
Setzung derartig gefundener Dreiecke gelangt man zu dem Satze, V 
dafs jedes Dreieck dieselbe Winkelsumme besitzt. Somit ver-' gewöh 
danken wir Legendre den Beweis des Satzes: werdei 
Wenn in einem Dreieck die Summe der Winkel zwei Rechte ■ metne 
beträgt, so gilt dasselbe für jedes Dreieck. ZU1 ^ e: 
Weiter konnte aber Legendre nicht gelangen; er machte neuen 
° ö ö ’ ohne 1 
allerdings verschiedene Versuche, aber fühlte sich von denselben 
selbst nicht befriedigt. -i^ens 
6 . Fläche: 
Indem man Legendres Untersuchungen weiter tortführte, hat Cylind 
man wohl das elfte Axiom Euklids durch folgende Behauptung Fläche 
ersetzt: ... ZU ihn 
Es ist nicht möglich, die Winkelsumme eines Dreiecks unter Mathei 
jede angebbare Gröfse sinken zu lassen. Dehnu 
Gewifs wird mancher geneigt sein, es als selbstverständlich ändert 
hinzustellen, dafs in keinem Dreieck die Summe aller drei Winkel Fläche 
etwa 1° beträgt. Aber wir müssen uns erinnern, dafs uns für der Fl