delle x, y, z. Facciamo ora il nostro cambiamento di variabili: vi sarà 
luogo a caratterizzare lo stesso ente o fenomeno fìsico (temperatura, 
forza, ecc.); e si è all’uopo condotti a introdurre dei parametri deter 
minativi, i quali, nel nuovo sistema di riferimento, sostituiscono con 
vantaggio quelli che sono invece i più opportuni quando ci si rife 
risce a coordinate cartesiane. Questi nuovi parametri si chiamano 
naturalmente trasformati dei primitivi, e da quelli si deducono con 
una legge, che non si può assegnare a priori, ma dipende dalla natura 
del problema, e in parte da opportune convenzioni. Per esempio, la 
temperatura T sarà, nel nuovo sistema, una funzione di q 1 , q 2 , q 3 , 
tale che allo stesso punto dello spazio competa la stessa temperatura, 
sia che la si calcoli con le variabili primitive, sia con quelle nuove; 
perciò la T in funzione delle q si otterrà ponendo, nella T (x, y, z), 
in luogo di x, y, z, le loro espressioni per mezzo di q lì q 2 , q 3 . Un tale 
modo di comportarsi, che è il più semplice fra quelli che avremo 
occasione di considerare, dicesi trasformazione per invarianza: così si 
trasformano tutte le funzioni del posto che hanno una determinazione 
indipendente dal sistema di coordinate scelto. 
Uon così avviene, nell’altro esempio citato, per le componenti 
di un vettore. Infatti, se (come supponiamo) questo ha una grandezza 
e una direzione indipendenti dal sistema di coordinate scelto (lo 
penseremo anzi definito fisicamente come una forza) le sue compo 
nenti invece, pur considerate sempre nello stesso punto, cambiano di 
valore col mutare del riferimento, come si vede subito, pensando ad 
una rotazione di assi cartesiani. Anzi, se la trasformazione di cui si 
parla non è di questa particolar natura, non sappiamo a priori che 
cosa sostituire nel nuovo sistema, per caratterizzare il vettore, alle 
sue proiezioni X, T, Z sugli assi dell’antico sistema (’); dobbiamo cioè, 
in base a ragioni di opportunità, convenire quale sarà in questo caso 
la legge di trasformazione. Il criterio più atto a servir di guida in questa 
P) Vedremo diffusamente al Cap. V come l’introduzione di nuove variabili q, , q UÌ q s 
dia luogo geometricamente a corrispondenti superficie coordinate — cost, g 2 — cost; 
q 3 — cost, e a linee coordinate che ne sono le intersezioni. Ciò premesso, se ci propo 
nessimo di individuare con criteri geometrici desunti dal nostro sistema coordinato gli 
elementi determinativi di un vettore, ci troveremmo di fronte a quattro possibilità tutte 
egualmente accettabili, di cui l’una o l’altra può divenire preferibile secondo i casi. 
Basta pensare che, in ogni punto, le tangenti alle linee e le normali alle superficie 
coordinate formano due triedri fra loro supplementari (in generale obliquangoli e quindi 
distinti). Orbene, un vettore si può caratterizzare sia mediante le sue proiezioni ortogonali 
sia mediante le sue componenti secondo ciascuno di questi due triedri.