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A questa stessa legge si è condotti anche da un punto di vista 
diverso (che è del resto subordinabile al precedente, come tra un mo 
mento constateremo). Consideriamo all’uopo una funzione invariante 
u(x, a, z) e ricerchiamo la più opportuna legge di trasformazione delle 
d u òn Ò u 
dx’ dy ’ dz 
che sono evidentemente altrettante fun- 
sue tre derivate — 
zioni di x, y, z. Si presenta naturale di considerare come enti ad esse 
corrispondenti nel nuovo sistema di riferimento le tre derivate, 
du du du -, , , .. , 
— , — , — , che sono notoriamente date da 
du du dx du du du dz 
[4] 
Se invece si assumesse la trasformazione per invarianza, le tre 
quantità che consideriamo avrebbero il significato di derivate d’una 
funzione soltanto nell’originario sistema di riferimento cartesiano, 
mentre in qualunque altro, in generale, esse perderebbero questa 
notevole particolarità. 
Le formule [4] sono manifestamente un caso particolare delle [3], 
in cui si sostituiscano le derivate di una medesima funzione u alle 
componenti del vettore generico. La ragione intima di ciò si ravvisa 
nel fatto che anche la legge di persistenza delle derivate è compen 
diabile nell’invarianza di una forma differenziale lineare. Basta, 
come caso particolare, sostituire al dL (che non è in generale un dif 
ferenziale esatto) il differenziale totale du, che è ad un tempo espri 
mibile sotto le due forme: 
du , du , du , 
— dx H dy H dz 
dx dy dz 
e 
Si può intravedere da quanto si è detto, e si vedrà meglio in se 
guito, quale sia il compito che ci proponiamo. 
Dato, in un certo sistema qualsivoglia di riferimento, un insieme 
di quantità aventi un certo significato, p. es. fisico o geometrico, asse