6 — T. Levi-Civita, Lesioni di calcolo differenziale assoluto. 
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zione dei sistemi; limitandoci in primo luogo a un cambiamento 
lineare di variabili e a un sistema semplice u x , u. z , ..u n . 
Supporremo cioè che dalle variabili x si passi alle nuove varia 
bili x, e da queste alle antiche, per mezzo delle formule 
U 
(i 1 > 2 , ..n) ; 
à /. (‘ih 'X'k 
[5] 
n 
Xi = Z h C ,H x k , 
1 
dove le e sono coefficienti costanti arbitrari, il cui determinante non 
è nullo: la seconda formula è naturalmente ricavata dalla prima 
mediante la regola di Cramer, sì che c ki rappresenta l’elemento reci 
proco di Cki (cfr. Cap. Ili, § 10). 
L’ipotesi più ovvia è che le u siano funzioni del posto, le quali si 
trasformino per invarianza (v. § 1). 
Un caso, un po’ meno semplice, ma molto notevole, si ha suppo 
nendo che le u si trasformino secondo la stessa legge delle coordinate, 
e in tal caso le u si diranno contravarianti. Le coordinate stesse formano, 
in particolare, un sistema semplice contravariante. 
Supponiamo invece che le u siano i coefficienti d’una forma 
lineare 
71 
cp --= z Xi 
ì 1 
e che la cp si trasformi per invarianza, cioè sostituendo alle x le loro 
espressioni [5], con che la cp si presenta come forma lineare anche nelle 
nuove variabili x. Conveniamo di assumere come trasformate u 
delle u, i coefficienti di questa nuova forma; diremo allora che le u 
formano un sistema covariante. 
Esplicitando avremo 
n 
n 
n 
n 
n 
I nuovi coefficienti sono dunque 
il 
U k Z : C’ik % • 
1 1