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Scambiando (per uniformarsi alla [5']) gli indici i e le, si ha 
«i = ~ Zk (‘ki M/j (i 1 j 2 j . . .j li) , 
1 
che esprime la legge di covarianza. 
Anche qni giova naturalmente associare le formule equivalenti, 
che si ottengono risolvendo rispetto agli elementi primitivi u, e sono 
fornite dal solito algoritmo (di Cramer). Scrivendole per prime, con 
che si tiene ordine corrispondente a quello delle [5], [5'], si ha in 
definitiva la legge di covarianza espressa dai due gruppi di formule 
equivalenti: 
U t = Zk G ik U k , [6] 
1 
Mi - Zk Cki U k (i = 1, 2,..., n) . [6'] 
ì 
Considereremo spesso, assieme alle variabili x (che si chiamano 
anche variabili puntuali) un sistema di variabili covarianti u (dette 
ditali): le formule [5] e [6] forniscono il modo di comportarsi delle 
une e delle altre in un cambiamento lineare di variabili. 
Per interpretare geometricamente le variabili duali, fissiamo 
l’attenzione sul caso n — 4, in cui x x , x 2 , x 3 , x± si possono riguardare 
come coordinate cartesiane (omogenee) dei punti dello spazio. Un 
piano ha un’equazione del tipo 
u x x x + u 2 x 2 + u 3 x 3 + u x x 4 = 0 , [7] 
e i coefficienti u x , u 2 , u 3 , u i si dicono, come è noto, le coordinate (plii- 
ckeriane) del piano. Ora, dato il significato geometrico della [7], il 
suo primo membro deve essere invariante (a meno di un fattore, ines 
senziale, essendo le coordinate omogenee) e quindi le coordinate plii- 
ckeriane u si debbono trasformare per covarianza. Dalla nota legge 
di dualità della geometria proiettiva è venuto ad esse il nome di va 
riabili duali. Analogamente per n qualsiasi.