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§ 4. — Invarianza, covarianza e contravarianza di un 
SISTEMA rn-PLO RISPETTO ALLE TRASFORMAZIONI LINEARI. SISTEMI 
misti o tensori. Carattere invariantivo del loro annul 
larsi. — Estendiamo ora le considerazioni del paragrafo precedente ai 
sistemi d’ordine qualunque, pur limitandoci sempre a considerare tra 
sformazioni lineari del tipo [5], [5']. Definiamo cioè i sistemi misti, 
di cui sono casi particolari quelli covarianti e quelli contravarianti. 
Consideriamo m w-ple di variabili puntuali (cioè m punti), e di 
stinguiamo con un indice in alto il numero d’ordine della n-pia. Avremo 
complessivamente gli argomenti 
x\ 
/v>f 
, vL/ 2 
rp i # 
9 • • tA/ n 9 
rffc 
/v>2 
9 v0 2 
ryft . 
9 • • M 9 
/Y >m 
'¿'l 9 
/yt'ÌTl 
rpftl 
9 • • *9 ^U * 
un certo 
numero g 
u\, 
u\ ■ 
> • • •> \F n 5 
U\ ! 
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i • • ••> Un ’ 
ur 
1 ' 
, U* 
1 2 
, ..., w J ‘. 
7 n 
Formiamo una forma plurilineare F in tutte queste variabili, 
i cui termini cioè contengano come fattore un elemento di ciascuna 
w-pla. I relativi coefficienti, a priori completamente arbitrari, costi 
tuiranno un sistema generico, d’ordine m + g. Scriveremo in basso 
gli indici corrispondenti alle x, in alto quelli corrispondenti alle u, e 
avremo in conformità 
U 
Z 0\ • • • 3u. i m j y* 
. . . . a : *«,•••*<»«*•••% 
?i ... J ì . . • J,j 
[8] 
Ora, trasformando le x secondo la legge di contravarianza, le 
u secondo quella di covarianza e sostituendo queste espressioni nella 
[8] (cioè trasformando la F per invarianza), si otterrà una forma 
plurilineare nelle nuove variabili cc, u: assumiamo come trasformate 
delle A i coefficienti A di questa nuova forma. Diremo allora che le A