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costituiscono un tensore o sistema misto, covariante rispetto agli indici 
scritti in basso, contravariante rispetto a quelli scritti in alto. Potrebbe 
in particolare esser nullo ni o g, mancando in conformità nella F le va 
riabili puntuali, ovvero quelle duali: allora il sistema dei coefficienti 
è puramente contra variante se le variabili della F sono tutte co 
varianti, e puramente covariante nel caso contrario. 
Il caso del sistema semplice rientra subito in questa definizione: 
difatti la F diviene in tal caso la 9 del § precedente, e, se la conside 
riamo lineare nelle x, troviamo che i coefficienti u, secondo la defini 
zione data or ora, debbono chiamarsi covarianti, se invece la risguar- 
diamo come lineare nelle u, concludiamo che le x formano un sistema 
contra variante, concordemente a quanto avevamo prima stabilito. 
Un tensore covariante, contravariante o misto, avente complessi 
vamente m 4- g indici, si dice di rango m + g; un sistema semplice, 
covariante o contravariante — cioè un tensore di rango uno — si 
chiama anche vettore, e i suoi elementi si chiamano componenti cova 
rianti o rispettivamente contravarianti del vettore. 
Si potrebbe, come si è fatto nel § precedente per giungere alle 
[6], [6'], trovare le formule generali di trasformazione dei sistemi 
misti (e quindi, in particolare, di quelli contravarianti e di quelli 
covarianti): noi non avremo bisogno nel seguito di tali formule poiché 
ricorreremo sempre alla definizione ora data; ma pure, a titolo 
d’esempio, vogliamo stabilirle e scriverle distesamente per il caso 
del sistema misto più semplice cioè con un solo indice di covarianza 
e uno di contravarianza. 
Consideriamo perciò la forma bilineare 
n , 
F — A. x¡ a,- 
e trasformiamola per invarianza. Ricordando le [5] e [6] abbiamo, 
n • n n _ n . 
F = S (f A t £ k e,„ %„ Z h «, = Z ijhk A. e № e> h x„ «» = 
n _ n 7 
. A.C'C'“. 
I coefficienti di questa nuova forma sono 
_ h n i 
A = £■■ A. c ik c jh 
k , »3 i 1 
[9]