— Si 
tale dopo qualsiasi cambiamento lineare di variabili; invece per un 
sistema misto a questa proprietà non sussiste. Anche per sistemi 
doppi, covarianti o contravarianti, emisimmetrici, si può dimostrare, in 
modo analogo, l’invarianza della proprietà di emisimmetria. 
Possiamo ora giovarci della proprietà illustrata testé, per far 
vedere come la covarianza di un sistema doppio simmetrico possa 
stabilirsi ricorrendo, anziché alla forma bilineare (12), alla forma 
quadratica 
?C®) = Z ik a ik Xi .x k . [14] 
Se si opera il cambiamento di variabili sulla 9 (x), questa diverrà 
ovviamente una forma quadratica nelle oc, che scriveremo 
9 (oc) = z ik a ik Xi x k . [14'] 
1 
Mostreremo che i suoi coefficienti a ik sono i trasformati per covarianza 
delle a ik , cioè sono gli stessi che si otterrebbero operando il cambia 
mento di variabili sulla F(x\x'). Difatti dalla F (x \x') si ottiene 
la 9 (x) ponendovi prima le x' uguali alle x, cioè 
9 (x) = F (x | x) , 
e da questa, con il solito cambiamento di variabili, si ottiene poi la 
9(ir), la quale pertanto proviene da F (x\x') mediante la successiva 
applicazione delle due operazioni 
x\ == Xi , [a] 
x t = Xi (x) . [6] 
Ma si otterrà manifestamente lo stesso risultato applicando le 
due operazioni in ordine inverso, cioè passando prima dalla F (x\x') 
alla F (x | x'), (i cui coefficienti sono, per definizione i trasformati per 
covarianza delle a ik ) e poi, con l’operazione [a], la quale implica x' = x 
e, attesa la simmetria, non altera i coefficienti, alla 9 (x): i coeffi 
cienti di questa sono dunque i trasformati per covarianza delle a ik . 
Tutto il ragionamento non potrebbe applicarsi se il sistema delle a ik 
non fosse simmetrico poiché in tal caso una forma quadratica non 
basterebbe a individuarlo (v. § 2).