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§ 6. — R-PLE DI SISTEMI COVARIANTI E CONTEA VARIANTI SEM 
PLICI. Teorema sulle r-ple reciproche. — Vogliamo ora dimo 
strare un lemma nel quale avremo da considerare (non un solo sistema 
semplice, ma) n sistemi covarianti semplici, cioè una R-pla di sistemi 
siffatti, e parimenti una R-pla di sistemi contravarianti semplici. 
Dovremo perciò contrassegnare gli elementi in questione con due 
indici, l’uno indicante il numero d’ordine del sistema nell’R-pla, 
l’altro (che sarà un indice di covarianza o di contravarianza) indi 
cante il numero d’ordine dell’elemento nel sistema. Consideriamo 
dunque l’n-pla di sistemi covarianti semplici 
(a, i = 1, 2 , . . ., n) 
[151 
dove a rappresenta il numero ordinale del sistema (e non è quindi 
indice di covarianza nè di contravarianza); supponiamo inoltre che il 
determinante delle A non sia nullo (o, come si dice, che l’R-pla sia 
indipendente). In tale ipotesi, ad ogni elemento A a j { corrisponderà 
un elemento reciproco (il suo complemento algebrico diverso per il 
valore del determinante), che indicheremo con 
X 
n) : 
[15'j 
’a 
in un cambiamento (lineare) di variabili le X a j { si muteranno secondo 
la legge di covarianza, e saranno denotate con x* i ; : assumeremo 
come trasformate delle \ gli elementi reciproci \delle X a[i . 
Ebbene, dimostreremo che questa legge coincide con la contrava 
rianza, cioè, che dando ad a i valori 1,2, ..., r, le \ costituiscono 
altrettanti sistemi contravarianti semplici; brevemente, che l’n-pla 
reciproca è una R-pla di sistemi contravarianti. È questa la ragione 
per cui l’indice i è stato posto in alto. 
L’ipotesi della covarianza della R-pla [15] significa che le n forme 
lineari 
n 
£i i i X i 
(a = 1,2, . . ., n)