Si dice che il tensore C è la somma dei due tensori A e B. 
§ 8. — Moltiplicazione dei tensori. — Definiamo ora il prodotto 
di due tensori. Siano questi qualunque, generalmente misti, ed abbiano 
Puno m indici di covarianza e g di contravarianza, l’altro m' e g' ri 
spettivamente: 
B 
3u.' 
Formiamo il sistema avente per elemento generico il prodotto 
di un qualunque elemento A per uno qualunque B: l’elemento così 
formato verrà a dipendere da m + g + m' -f g' indici, onde il rango del 
sistema prodotto sarà la somma dei ranghi dei sistemi dati. Dimo 
streremo che esso è un tensore avente per indici di covarianza gli 
m + m' indici di covarianza dei sistemi dati, e per indici di contra 
varianza i g + \x indici di contravarianza di quelli: per semplicità 
di scrittura ci riferiremo, come precedentemente, al caso di due 
soli indici. 
Le due forme invarianti per ipotesi siano 
^ n 
F = Z ih A x, u h , 
i 
d> = 2l -, B ® u : 
ih' ,/ ./ /,■ 
1 
il prodotto di queste due forme, invariante in conseguenza dell’in 
varianza di esse, è 
n n u , , 
FQ> = 2 ihìk A B. x { x. u h u : , 
ovvero, posto 
A B\ = C hk 
7^d) = V -, C. x¿ x’ u h u' . 
I lh J k l J J A- 
L’invarianza di questa forma significa che gli indici i e j apposti 
alla lettera C sono di covarianza, li e le di contravarianza, il che prova 
l’asserto. Lo stesso nel caso generale.