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§ 9. — Saturazione degli indici. — Definiremo ora l’operazione 
di saturazione, per cui da un sistema misto qualunque si passa ad un 
altro sistema avente un indice di covarianza ed uno di contrava 
rianza in meno. 
Per comodità di scrittura, metteremo in evidenza uno solo fra 
gli indici di covarianza, ed uno solo fra quelli di contravarianza, del 
tensore dato, sostituendo gli altri con dei puntini; scriveremo cioè 
• • • * 
A...,. 
Formiamo ora il sistema 
A 
1 
i 
il quale dipenderà da tutti gli indici, meno i due posti in evidenza: 
si dice allora che quei due indici sono stati saturati. Dimostriamo 
che il sistema così ottenuto è ancora un tensore, il quale ha gli 
stessi indici di covarianza e gli stessi indici di contravarianza del 
dato, salvo, beninteso, la coppia saturata. Ci limiteremo, al solito, 
per semplicità di scrittura, ad un caso particolare, ma non differente 
in sostanza da quello generale. Sia dunque invariante la forma 
F = 2 A 
“ihrs ; 
Xi x r U h u s 
qualunque siano le variabili x, x', u, u' (purché puntuali le prime 
due, duali le altre). In virtù di questa arbitrarietà, potremo porre, 
in luogo delle u' s , n distinti sistemi di quantità covarianti, che indiche 
remo con X a | , , secondo la notazione [15] del § 6; al posto delle x r po 
tremo poi porre le A a , elementi reciproci di quelle, e perciò contrava 
rianti (§5). Avremo così le n forme lineari 
n hs r 
^a £ ihrs A.^ Xi ?Ui A a A a | g (a = 1,2,..., n). 
tutte invarianti. Sarà pertanto invariante anche la loro somma G. 
Scriviamola, e trasformiamola un poco, tenendo presente la pro 
prietà fondamentale degli elementi reciproci. Avremo