DIVISIONS HOMÜGRAPHIQUES 
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un seul point P. Donc à tout point N de AC correspond un seul 
point P de AB. 
2° On voit de même qu’à tout point P de AB correspond un 
seul point N de AG. 
3° De la remarque laite au n° 15 on déduit que les abscisses 
des points N et P sur AC et AB sont liées algébriquement. 
Donc, les points N, P tracent sur AC, AB des divisions 
homographiques. 
Si nous posons 
C ÎS—x, BP = x', 
nous avons entre x et x' une relation bomographique de la 
forme 
(1) ara' + fix + yx' + 8 = 0, 
a, , y, S étant des constantes. 
Remarquons d’abord que cette relation doit être symétrique 
par rapport à x, x', ou, en d’autres termes, qu’on doit avoir fi — y. 
En effet, prenons sur A le point M' symétrique de M par 
rapport à la hauteur AU du triangle; menons les droites 
BM', CM' qui rencontrent CA, BA respectivement aux points 
N', P'. Les points N', P' sont symétriques de P, N par rapport 
à Ail. Nous avons donc 
CN 7 == BP = x', BP = CN = x, 
et comme les abscisses de N', P' doivent vérifier la relation (1), 
on a 
(2) ara' -f- fix' + yx + 8 = 0. 
Retranchons (2) de (1), nous obtenons 
P (x — x’) + y [x' — x) — 0, 
ou 
(P —Y) {x — x') = 0; 
comme x — x' n’est pas nul, ceci nous donne 
p — y = 0. 
La relation (1) devient donc 
ccxx' + p (as S = 0.' 
D’autre part, quand le point M s’éloigne indéfiniment sur 
A, x et x' tendent vers zéro; donc la relation doit être vérifiée 
pour x — 0, x' = 0, et, par suite, S est nul.