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Erster Abschnitt. § 15. 
Gesetze gelten, wie für Gerade in der Löbatschewskyschen Ebene, 
ergiebt sich aus dem zweiten Teile von § 13 f. 
o) Wir haben es nicht iür nötig gehalten, zu jedem der 
letzten Sätze, welche für die Grenzfläche und die Flächen gleichen 
Abstandes gelten, die entsprechenden Eigenschaften der Kugel 
ausdrücklich anzuführen. Wir möchten aber auf dies Entsprechen 
wenigstens hingewiesen haben. 
§ 15. 
Die Trigonometrie im Löbatschewskyschen Raume. 
Die cyklometrischen Funktionen sin, cos, tangens und cotan- 
gens sollen überall denselben Wert haben, wie in der gewöhn 
lichen Trigonometrie; es soll also sin 0 = 0, sin 30° = f, 
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sin 45° = — : sin 60° = -l-V3, sin 90° = 1 sein u. s. w. Es 
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sollen auch dieselben Formeln zwischen den Funktionen eines 
Winkels gelten; die Additions-Theoreme sollen ungeändert bleiben, 
— kurz, wir wollen hier ganz dieselben Funktionen an wenden, 
welche aus dem elementaren Unterrichte bekannt sind. 
Obwohl diese Bemerkung für diesen § und für manche spätere 
Stelle vollkommen ausreicht, kann sie doch kaum als befriedigend 
angesehen werden, da man nicht weifs, wie diese Funktionen 
gewonnen werden können. Bei der gebräuchlichen Begründung 
mufs die Ähnlichkeitslehre benutzt werden, welche sich wesentlich 
auf die Parallelen-Theorie stützt. Wir müssen daher andere Wege 
suchen, auf denen sie hergeleitet werden können. Ein solcher 
wird sich in § 24 angeben lassen; da derselbe jedoch Sätze benutzt, 
die erst dort bewiesen werden sollen, kann er hier nicht gut 
mitgeteilt werden. 
Ein zweiter Weg eröffnet sich uns unter Benutzung der 
Sätze, welche in § 14, m) für die Grenzfläche erwiesen sind. 
Wenn auf einer solchen Flächen aus Stücken von Grenzlinien 
ein rechtwinkliges Dreieck gebildet ist, so darf das Verhältnis der 
dem einen spitzen Winkel « gegenüberliegenden Seite zur Gegen 
seite des rechten Winkels als Sinus von a definiert werden. 
Ähnliche Definitionen dürfen wir von den übrigen Funktionen 
aufstellen. Die hierdurch gewonnenen Funktionen sind aber iden 
tisch mit den gebräuchlichen Funktionen desselben Namens; man