Ordnung entsprechen, erhalten wir demnach, wenn wir die Ausdrücke von 
der Form (47.) für alle solchen aus den h als Werthen der f) und f gebil 
deten Werthesysteme (I), f) summiren, welche algebraisch verschiedene Aus 
drücke (47.) darstellen. 
Mit einem bestimmten Werthesysteme der Indices-Paare ergeben alle 
diejenigen Werthesysteme, welche sich durch blosse Vertauschung der Rei 
henfolge aus jenem ableiten lassen, algebraisch gleiche Ausdrücke (47.). 
Die Veränderung der Reihenfolge kann zunächst dadurch geschehen, dass 
eine der beiden Hälften eines Cyclus nach Belieben in die erste oder die 
zweite Zeile der Formel (47.) gebracht wird. Bezeichnet g die Anzahl sämmt- 
licher Cyclen für das bestimmte Glied, so erhält man durch diese verschie 
denartige Bildung der beiden Factoren, nämlich der ersten und zweiten Zeile 
in Formel (4 7.), zusammen 2 9 algebraisch gleiche Ausdrücke. Jeder der 
beiden Factoren, d. i. jede der beiden Zeilen in (47.), kann nun noch formal 
verändert werden durch sämmtliche 77(v) Umstellungen der Reihenfolge 
seiner v Indices-Paare (I), f). 
Im ganzen entstehen also 2 3 77 (v) 77(v) algebraisch gleichwerthige Aus 
drücke und 
(49.) man erhält die Summe aller Determinanten-Glieder mit 
geradzahligen Cyclen, wenn man den Ausdruck (47.) durch 2 9 77(v)77(v) 
dividirt und dann in Bezug auf jede der Av Grössen I) und f über 
sämmtliche 2v Werthe der h summirt. Es bezeichnet dabei g die 
Anzahl der für je ein bestimmtes Werthesystem in den 2v Indices- 
Paaren (f), i) vorkommenden Cyclen. 
Ein eigentliches, nicht verschwindendes Glied enthält Indices-Paare, 
welche die Bedingungen (4 8.) erfüllen. Es ist also .in (47.) auch 
(so.) niift-y = n n ä - y, n n a - y = n n % - y, 
i'.