324 
ANALYTISCHE THEORIE DER DETERMINANTEN. 
Falle kann man aber die 2v Werthe-Paare 
(53.) ( S 2<j-i? sj und (t 2Q _ r , t iQ ) 
entweder unmittelbar oder nach etwa erforderlicher Umkehrung einzelner 
Werthe-Paare, wobei der Ausdruck (52.) seinen Werth nicht ändert, in ein 
fache Cyclen gerader Ordnung zerlegen. Es sind demnach alle für die in 
Rede stehenden Glieder erforderlichen Bedingungen, wie wir im Artikel 7 
gesehen haben, erfüllt. 
An jenem Orte haben wir auch gefunden, dass unter den im allge 
meinen verschiedenen eigentlichen Determinanten-Gliedern für diese beson 
dere Determinante noch 2 9 einander algebraisch gleich werden durch Hinzu 
nahme der Bedingungen E(t], x) = —E(x, tj). 
(54.) Wir erhalten also die gesuchte Determinante, wenn wir 
(52.) mit 2 9 multipliciren und über alle solchen Werthesysteme h 
für jedes s und t summiren, welche den Ausdruck mit Berücksich 
tigung der Gleichungen E (y¡, x) = — E (x, tj) algebraisch verschiedene 
Werthe annehmen lassen. Es bedeutet dabei g die Anzahl der 
Cyclen, welche von den 2v Werthe-Paaren (53.) entweder unmittel 
bar oder durch etwa erforderliche Umkehrung einzelner Werthe- 
Paare gebildet werden und die zweite Ordnung übertreffen. 
Nimmt man in (52.) für die s und t jedes aus den h zusammengesetzte 
Werthesystem, so erkennt, man zunächst 2 9 Ausdrücke als einander gleich. 
Diejenigen 2 9 Cyclen, welche aus (53.) entweder schon unmittelbar oder nach 
erforderlichen Umkehrungen gebildet werden und von höherer als der zweiten 
Ordnung sind, können ihre beiden Hälften beliebig auf die beiden Zeilen 
in (52.) vertheilen. Zweitens werden immer diejenigen 2 U Ausdrücke ein 
ander gleich, die durch Umkehrung der 2v Werthe-Paare (52.) aus einander 
hervorgehen. Schliesslich werden noch jedesmal diejenigen 77(v) 77 (v) Aus 
drücke einander gleich, welche durch Veränderung der Reihenfolge der aus 
den s gebildeten Werthe-Paaren unter sich und der aus den t gebildeten 
Werthe-Paaren unter sich hervorgehen. 
Hiernach lässt sich der Lehrsatz (54.) auch so aussprechen: Die gesuchte 
Determinante entsteht, wenn man den Ausdruck (52.) durch 2* v 77 (v) ü(v)