NEUER BEWEIS DES RECIPROCITÄTS-SATZES FÜR DIE QUADRATISCHEN RESTE. 333
vorkommenden negativen absolut kleinsten Bruchresten, so wird die Gauss-
sche characteristische Zahl gleich
Sln ä( .5Re fl TO-2A;
f* = 1> 2 > 3, ..
m—1
—
Für ein beliebiges x wird nun allgemein 5153 (x) negativ, wenn es eine
ganze Zahl giebt, welche über x und unter x + \- liegt; giebt es aber keine
solche ganze Zahl, so wird 5i53(a?) nicht negativ. Diese Bedingung lässt
sich bei einem nicht negativen x auch in der Form aussprechen, dass
entweder zugleich
oder zugleich
für v = 1, 2, 3, ..., + oo
2h% ^of (2: + y - vj — 2(t% $of {x — v) — 1
und 2(53 (a?)<0
2i%,5ßof(z + ~—v\ - 2in§ v 5ßof (x - v) = 0
und 2(53 (#) > 0
wird, wenn nämlich weder x noch x + ~ eine ganze Zahl ist.
Hiernach können wir für ein positives w, und für ein positives unge
rades m, unter Beibehaltung der für ^ und v angenommenen "Werthesysteme,
zur Bestimmung der characteristischen Zahl die Gleichung
(1.) Sfeä,5Re 3 äS3-^ = *taa*,sw(-^- + Y-*)(-*■£—>)
aufstellen.
Bei der wirklichen Berechnung der zweiten Seite dieser Gleichung
braucht man jedenfalls diejenigen positiven Werthe des v nicht zu berück
sichtigen, für welche die Function
m— 1
2
n 1
f ~ö
m 2
oder
n + 1 n
2 2m
als grösster Werth von
(LtW
m