Full text: Gesammelte mathematische Werke (1. Band)

NEUER BEWEIS DES RECIPROCITÄTS-SATZES FÜR DIE QUADRATISCHEN RESTE. 333 
vorkommenden negativen absolut kleinsten Bruchresten, so wird die Gauss- 
sche characteristische Zahl gleich 
Sln ä( .5Re fl TO-2A; 
f* = 1> 2 > 3, .. 
m—1 
— 
Für ein beliebiges x wird nun allgemein 5153 (x) negativ, wenn es eine 
ganze Zahl giebt, welche über x und unter x + \- liegt; giebt es aber keine 
solche ganze Zahl, so wird 5i53(a?) nicht negativ. Diese Bedingung lässt 
sich bei einem nicht negativen x auch in der Form aussprechen, dass 
entweder zugleich 
oder zugleich 
für v = 1, 2, 3, ..., + oo 
2h% ^of (2: + y - vj — 2(t% $of {x — v) — 1 
und 2(53 (a?)<0 
2i%,5ßof(z + ~—v\ - 2in§ v 5ßof (x - v) = 0 
und 2(53 (#) > 0 
wird, wenn nämlich weder x noch x + ~ eine ganze Zahl ist. 
Hiernach können wir für ein positives w, und für ein positives unge 
rades m, unter Beibehaltung der für ^ und v angenommenen "Werthesysteme, 
zur Bestimmung der characteristischen Zahl die Gleichung 
(1.) Sfeä,5Re 3 äS3-^ = *taa*,sw(-^- + Y-*)(-*■£—>) 
aufstellen. 
Bei der wirklichen Berechnung der zweiten Seite dieser Gleichung 
braucht man jedenfalls diejenigen positiven Werthe des v nicht zu berück 
sichtigen, für welche die Function 
m— 1 
2 
n 1 
f ~ö 
m 2 
oder 
n + 1 n 
2 2m 
als grösster Werth von 
(LtW 
m
	        
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