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aber noch eine andere Deutung der letzten Gleichung; be 
zeichnen wir nämlich mit v x und v 2 die aus D kommenden 
Tangenten DV X und DV 2 des absoluten Kegelschnittes, so 
wird durch das mit (F, V 2 CK X ) gleiche Doppelverhältnis 
(■v x v 2 di) der Winkel zwischen d und i gemessen; derselbe 
hat demnach für alle Durchmesser der Inversion denselben 
Wert und .soll kurz „der Winkel der Inversion“ beiden. Sein 
Komplementwinkel, der durch (v x v 2 i c) — — gemessen 
[v-i v% et 1) 
wird, ist der Winkel zwischen i und der Inversionsaxe c und 
ebenfalls konstant, wie es ja sein muß, da i einen Kreis 
berührt, dessen Mittellinie c ist. 
3. Wenn wir nun unsere Konstruktion in der Sprache 
der nichteuklidischen Geometrie schildern wollen, dürfen wir 
nur mit „eigentlichen“, d. h. im Innern des absoluten Kegel 
schnittes befindlichen Elementen arbeiten. Wir unterscheiden 
demnach zwei Arten der Inversion: 
Die zentrale Inversion, deren Zentrum ein eigent 
licher Punkt ist, und 
die axicde Inversion, deren Axe eine eigentliche 
Gerade ist. 
Der Hauptkreis ist ja, falls er reell ist, immer ein eigent 
licher Kreis. Bei der zentralen Inversion mit reellem Haupt 
kreis ist, wie leicht ersichtlich, auch der erste Hilfskreis ein 
solcher; die eine zu einem Durchmesser d gehörige Gerade i 
erhalten wir ohne Benutzung des uneigentlichen Punktes D, 
wenn wir den zu d im absoluten Polarsystem konjugierten 
Durchmesser PC mit dem ersten Hilfskreis schneiden und 
in einem der Schnittpunkte die Tangente ziehen. Die In 
volution auf dem absoluten Kegelschnitt endlich ist mit der 
Spiegelung an der Geraden i identisch. Also können wir 
sagen: 
Hat die zentrale Inversion einen reellen Hauptkreis, so 
konstruiert man die einem Punkte Y entsprechenden beiden 
Punkte 2) t , f) 2 folgendermaßen: Man legt durch Y den Durch 
messer d der Inversion, schneidet den zu ihm senkrechten