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die mit d „den Winkel der Inversion“ bildet—; an i spiegelt
man das in Y auf d errichtete Lot und sucht zu der so er
haltenen Geraden die beiden zugleich auf d senkrechten
Parallelen; diese schneiden in d die Punkte 9), und 9) 2 ein.
Bei der axialen Inversion kann der Fall eintreten, daß
ihre Axe c den Fluchtkreis vertritt, d. li. daß jedem Punkt
der Axe c die beiden unendlich fernen Punkte des durch ihn
gehenden Durchmessers d entsprechen; nach der oben ange
gebenen Konstruktion geschieht das, sobald c durch die
Spiegelung an i in d übergeht. Dieser Fall gibt, wie man
ohne besondere Mühe zeigen kann, die von Herrn Liebmann
„¿-Transformation“ genannte Abart der Inversion.
§ 4. Die Inversion der elliptischen Geometrie.
1. Die in § 2 angegebene Konstruktion der Inversion
läßt sich in der elliptischen Ebene, weil dort der absolute
Kegelschnitt imaginär ist, nicht so einfach gestalten, wie es
in § 3 für die hyperbolische Ebene geschehen ist. Deshalb
wollen wir jetzt eine ganz andere Konstruktion der Inversion
ableiten, die in der elliptischen Ebene brauchbar ist: sie ist
übrigens auch in der hyperbolischen Ebene bei der zentralen
Inversion anwendbar. Wir kehren zu dem Ende noch ein
mal zu der Kugel O und zu der auf ihr durch die involu-
torische Homologie (C r , y') erzeugten Verwandtschaft zurück
und setzen dabei voraus, daß die aus dem Projektionszentrum
S nach C' gehende Gerade, wie sie es ja im elliptischen
Falle tut, die Kugel cP in zwei reellen Punkten C\' und Cf
schneidet. Jeder Kreis nun von 3>, der dem durch Cf und
C 2 ' bestimmten Kreisbüsche] (Cf Cf) angehört, geht durch
die Homologie (C\ y') in sich selbst über; ferner sind, wenn
tf und tf zwei beliebige, die Kugel <P in Cf, bzw. Cf be
rührende und sich auf der Geraden y'a schneidende Tan
genten sind, die beiden Ebenenbüsche] (tf) und (tf) und mit
ihnen auch die durch sie in & eingeschnittenen Kreisbüschel
einander projektiv zugeordnet. Soll nun zu einem Punkt Y
der Kugel der ihm in der Homologie (C', y') entsprechende
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