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Abschnitt VIII. Capitel III. § 10. 
Führt inan aber jetzt eine analoge Operation aus, indem 
man r ni anstatt r n nimmt, wobei n x eine der Zahlen zwischen 
Null und n — 1 ist, so muss sich unbedingt die Zahl der 
gleichen Paare verringern, da auch jetzt die einmal gleich 
gewesenen und verschieden gewordenen Elemente bei /¿(-ma 
liger Wiederholung der Operation verschieden bleiben müssen, 
wenn nicht h x = 0 (mod. n) ist. Fährt man so fort, so wird 
man einmal sämmtliche Elemente verschieden machen müssen, 
da die Anzahl der möglichen Operationen immer die Anzahl 
der möglichen gleichen Paare übertrifft. Gesetzt nun das Ziel 
wurde erreicht, nachdem mit r hl und r" 1 , r h \ • • •, r { mul- 
7 n L 7 W, ' 7 7l[ 
tiplicirt wurde, wobei n 2 , • • •, ni verschiedene ganze 
Zahlen zwischen Eins und n sind, so haben wir schon öfters 
gesehen, dass man 
setzen kann und alle ausgeübten Multiplicationen äquivalent 
sind einer einzigen mit r h m , wenn m und h die verlangte Be 
deutung haben. Daraus ersieht man, dass m eine der ganzen 
Zahlen zwischen 1 und n\ sein wird. Durch folgende Be 
trachtung, durch welche der Satz in etwas andrer Gestalt 
erscheint, kann man noch die Grenzen für m bedeutend ver 
ringern. Man kann nämlich den Satz auch so aussprechen: 
Sind n beliebige aber von Null und Unendlich verschie 
dene Grössen c 0 , c,, c 2 , ..., c n —\ gegeben und bildet man aus 
ihnen die Determinante, welche bekanntlich das Product sämmt- 
licher Differenzen der Elemente c 0 , c x x, c 2 x 1 , ..., c n —i x n ~ x 
dar stellt, nämlich: 
I 
1 
1 
•. 1 
c o 
C j Ob 
c 2 X 2 
• C„_ !X n ~ l 
1) 
zl = 
2 
c o 
c\x 2 
2 i 
■ e ¿ 11 
n—1 
c n ~ x 
°0 
c”~V 1 
n 1 (n—l)(n—1) 
so kann man immer eine ganze Zahl m zwischen 1 und n!